Matematik

Rumgeometri

16. november 2018 af Asmaa12 - Niveau: A-niveau

Hej jeg har problemer med denne her opgave som lyder:
En plan går gennem punkterne A (2,3,1), B (3,1,2) og C (1,2,3).
Find koordinaterne til projektionen af punktet (15,7,-1) på planen.

Kan det passe at normalvektoren AB og AC er (-3,-3,-3)?

Svar #1
16. november 2018 af Asmaa12

PS Mat er ikke min stærke side, så kom gerne med dybe forklaringer.
Det vil jeg sætte stort pris på. :)

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. november 2018 af mathon

Kan det passe at normalvektoren AB og AC er (-3,-3,-3)?

$\mathbf{AB}\times \mathbf{AC}=\left [ -3,-3,-3 \right ]$ Ja

Svar #3
16. november 2018 af Asmaa12

Okay super så kommer det næste spørgsmål når jeg regner videre med det og sætter det ind i ligningen så får jeg -3x-3y-3z-63=0

Jeg har brugt denne ligning ax+by+cz+d=0
Hvor jeg har sat disse tal (15,7,-1) ind i ligning samt disse tal (-3,-3,-3)
Derfor inder jeg med -3x-3y-3z-63=0.
Er dette korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. november 2018 af mathon

$P=(15,7,-1)$

Af bekvemmelighed benyttes i det følgende
plannormalvektoren
$\mathbf{n}=\begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\textup{Planen } \alpha \textup{'s ligning}:$
$\mathbf{n}\cdot \mathbf{AQ}=0$ $\textup{hvor Q(x,y,z) er et vilk\aa rligt punkt i plannen }\alpha .$

$\begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-2\\ y-3 \\ z+1 \end{pmatrix}=0$

$\alpha \textup{:}\quad x+y+z-4=0$

En parameterfremstilling for linjen gennem punktet P(15,7,-1) vinkelret på planen α
er:
$l \textup{:}\quad \begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 15\\7 \\ -1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}\qquad t\in\mathbb{R}$ $\textup{da \textbf{n} er retningsvektor for linjen.}$

P's projektionspunkt på planen α
skal derfor opfylde:

$x+y+z-4=0\qquad \wedge\qquadl \qquad \begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 15\\7 \\ -1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}\qquad t\in\mathbb{R}$
hvoraf:
$15+t+7+t+(-1)+t-4=0$

$3t+17=0$

$t=-\tfrac{17}{3}$
og
$\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 15\\7 \\ -1 \end{pmatrix}+\left(-\frac{17}{3}\right)\cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{28}{3}\\\\ \frac{4}{3} \\\\ -\frac{20}{3} \end{pmatrix}$

$\small (15,17,-1)\textup{ projiceres p\aa \ }\alpha \textup{ i punktet } \left ( \tfrac{28}{3},\tfrac{4}{3},-\tfrac{20}{3} \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. november 2018 af mathon

kommentar:
$\small \! \! \! \! \! \! \textup{N\aa r }\begin{pmatrix} -3\\-3 \\ -3 \end{pmatrix} \textup{ er en normalvektor, er }k\cdot\begin{pmatrix} -3\\-3 \\ -3 \end{pmatrix}\textup{ andre normalvektorer, n\aa r } k\in\mathbb{R}\textup{.}$

$\small \textup{For }k=-\tfrac{1}{3}$
$\small \textup{haves:}$
$\small \small \mathbf{n}=-\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix} -3\\-3 \\ -3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}\quad \textup{som er nem at arbejde med.}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
16. november 2018 af ringstedLC

#3 Okay super så kommer det næste spørgsmål når jeg regner videre med det og sætter det ind i ligningen så får jeg -3x-3y-3z-63=0

Jeg har brugt denne ligning ax+by+cz+d=0
Hvor jeg har sat disse tal (15,7,-1) ind i ligning samt disse tal (-3,-3,-3)
Derfor inder jeg med -3x-3y-3z-63=0.
Er dette korrekt?

$\begin{align*} ax+by+cz+d &= 0\;,\;\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\\ \end{pmatrix} \\ -3x-3y-3z+d &= 0\;,\;\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}-3\\-3\\-3\\ \end{pmatrix} \\ -3\cdot 2-3\cdot 3-3\cdot 1+d &= 0\;,\;A=\begin{pmatrix}2\\3\\1\\ \end{pmatrix} \\ -6-9-3+d &= 0\Rightarrow d=18\Downarrow \\ -3x-3y-3z+18 &= 0\Downarrow \\ -x-y-z+6 &= 0\Downarrow \\ x+y+z-6 &= 0 \end{align*}$

Med denne ligning for planen giver projektionen:

$\begin{align*} x+y+z-6 &= 0\wedge \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\ 7\\ -1\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}1\\ 1\\1\end{pmatrix} \\ (15+t)+(7+t)+(-1+t)-6 &= 0 \\ 3t+15 &= 0\Rightarrow t = -5\Downarrow \\ \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15\\ 7\\ -1\end{pmatrix}-5\cdot \begin{pmatrix}1\\ 1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\ 2\\-6\end{pmatrix} \end{align*}$

Svar #7
17. november 2018 af Asmaa12

Men hvor kommer 1-tallene fra?

Brugbart svar (0)

Svar #8
17. november 2018 af ringstedLC

$\begin{align*} x+y+z-6 &= 0\Downarrow \\ (1)\cdot x+(1)\cdot y+(1)\cdot z-6 &= 0 \end{align*}$

Krydsproduktet af vektor AB og vektor AC giver én af planens normalvektorer. Den kan ganges med -1/3, hvorved planens ligning reduceres.

Brugbart svar (0)

Svar #9
17. november 2018 af mathon

oK tegnfejl:

$\textup{Planen } \alpha \textup{'s ligning}:$
$\mathbf{n}\cdot \mathbf{AQ}=0$ $\textup{hvor Q(x,y,z) er et vilk\aa rligt punkt i plannen }\alpha .$

$\small \begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-2\\ y-3 \\ z-1 \end{pmatrix}=0$

$\alpha \textup{:}\quad x+y+z-6=0$

P's projektionspunkt på planen α
skal derfor opfylde:

$x+y+z-6=0\qquad \wedge\qquadl \qquad \begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 15\\7 \\ -1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}\qquad t\in\mathbb{R}$
hvoraf:
$15+t+7+t+(-1)+t-6=0$

$3t+17=0$

$t=-5$
og
$\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 15\\7 \\ -1 \end{pmatrix}+\left(-5\right)\cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10\\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}$

$(15,17,-1)\textup{ projiceres p\aa \ }\alpha \textup{ i punktet } \left ( 10,2,-6 \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #10
17. november 2018 af mathon

endnu engang:

$\textup{Planen } \alpha \textup{'s ligning}:$
$\mathbf{n}\cdot \mathbf{AQ}=0$ $\textup{hvor Q(x,y,z) er et vilk\aa rligt punkt i plannen }\alpha .$

$\small \begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-2\\ y-3 \\ z-1 \end{pmatrix}=0$

$\alpha \textup{:}\quad x+y+z-6=0$

P's projektionspunkt på planen α
skal derfor opfylde:

$3t+15=0$

$t=-5$
og
$\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 15\\7 \\ -1 \end{pmatrix}+\left(-5\right)\cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10\\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}$

$(15,17,-1)\textup{ projiceres p\aa \ }\alpha \textup{ i punktet } \left ( 10,2,-6 \right )$

Skriv et svar til: Rumgeometri

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.