Matematik

HASTER

18. november 2018 af mimi99 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, er der nogle der kan hjælpe mig med nedenstående opgave. Har brug for nogle hints til, hvordan jeg skal gribe opgaven an. Har oprettet andre tråde angående sammen opgave, men det haster derfor forsørger jeg igen.

Vis, at for erhvert a ∈ R+ er det uegentlige integral

$I_1 (a) = \int_{a}^{\infty} exp(-at) dt$

konvergent, og bestem dets værdi.

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. november 2018 af Soeffi

#0.

$\int_{a}^{n} exp(-at) dt=\frac{-1}{a}\left ( exp(-a\cdot n)-exp(-a^2) \right )$

$\rightarrow \frac{1}{a}\cdot exp(-a^2),a>0 \wedge n\rightarrow \infty$

Svar #2
18. november 2018 af mimi99

Er dette så korrekt:

$\forall a\in R: I_1 (a) = \int_{a}^{\infty} exp(-at) dt = \frac{-1}{a}(exp(-a*n)-exp(-a^2))$

Vi antager a>0 og

$\frac{-1}{a}(exp(-a*n)-exp(-a^2)) \rightarrow \frac{1}{a}exp(-a^2)$ for $n\rightarrow \infty$

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. november 2018 af Soeffi

#2

Du ved, at n er større end a og dermed er begge positive. Derfor er -a·n negativt, og exp(-a·n) går mod 0 for n gående mod uendelig.

Svar #4
18. november 2018 af mimi99

Er det jeg har skrevet i #2 så forkert?

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. november 2018 af Soeffi

#4 Jeg synes, at du mangler at forklare, at integralet er konvergent.

Svar #6
18. november 2018 af mimi99

Hva med dette ?

$\forall a\in R: I_1 (a) = \int_{a}^{\infty} exp(-at) dt = \frac{-1}{a}(exp(-a*n)-exp(-a^2))$

Vi ved n > a derfor er begge positive. Der gør at -a*n er negativ og exp(-a*n) $\rightarrow$ 0 for n $\rightarrow \infty$

$\frac{-1}{a}(exp(-a*n)-exp(-a^2)) \rightarrow \frac{1}{a}exp(-a^2)$ for $n\rightarrow \infty$

Altså konvergerer det uegentlige integral mod 0 for $\rightarrow \infty$

Svar #7
18. november 2018 af mimi99

Er det her udregnet rigtigt?

$I_2(a)=\int_{1}^{\infty }exp(-2at)dt= -1/2a(exp(-2a*n)-exp(-2a))\rightarrow \frac{1}{2a}exp(-2a)$ , a>0 og n-->∞

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. november 2018 af AMelev

Ad #2 a > 0 er oplyst, så det er ikke en antagelse

#6
Altså konvergerer det uegentlige integral mod 0 for $\rightarrow \infty$
Altså er det uegentlige integral konvergent med værdien ${\color{Red} \frac{1}{a}exp(-a^2)}$

#7
Er det her udregnet rigtigt?

$I_2(a)=\int_{1}^{{\color{Yellow} \infty} {\color{Red} n} }exp(-2at)dt= -1/2a(exp(-2a*n)-exp(-2a))\rightarrow \frac{1}{2a}exp(-2a)$ , a>0 og n-->∞

Brugbart svar (0)

Svar #9
19. november 2018 af Soeffi

#2 Nej, det skulle snarere være...(jeg skifter lige n ud med x):

$I_1(a) = \int_{a}^{\infty} e^{-at} dt = \lim_{x\rightarrow \infty}\int_{a}^{x} e^{-at} dt=\lim_{x\rightarrow \infty}\left ( \frac{1}{a} (e^{-a^2}-e^{-ax}) \right )$

$=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{1}{a} e^{-a^2}-\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{a} e^{-ax}= \frac{1}{a} e^{-a^2}-\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{a} e^{-ax}$

Der gælder: a<x, da a er nedre grænse i integralet, og x er øvre grænse. Når 0<a, så er produktet a·x positivt, og derfor har man, at

$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{a} e^{-ax}=0$

Vi har dermed vist, at integralet konvergerer for a>0. Værdien af integralet er derfor:

$I_1(a)=\frac{1}{a} e^{-a^2}$

Skriv et svar til: HASTER

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.