Matematik

integral regning

18. november 2018 af mi28 - Niveau: A-niveau

pls hjælp

grafen for funktionen f med forskriften f(x)=x^3-3x^2 agrænser sammen med koordinatsystemets førsteakse i fjerde kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

a.) bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360 degree om førsteaksen.

b.) bestem den værdi af t, for hvilken linjen med ligningen x=t deler punktmængden M i to dele, der har samme areal.

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. november 2018 af mathon

$\small V=\pi \cdot \int_{0}^{3}-f(x)\mathrm{d}x$

Svar #2
18. november 2018 af mi28

hvor kommer 3?

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. november 2018 af mathon

b)
$\small A= \int_{0}^{3}-f(x)\mathrm{d}x= \int_{0}^{3}\left ( 3x^2-x^3 \right )\mathrm{d}x=\left [x^3-\tfrac{1}{4}x^4 \right ]_{0}^{3}=3^3-\tfrac{1}{4}\cdot 3^4=\tfrac{27}{4}$

$\small \int_{0}^{t}\left ( 3x^2-x^3 \right )\mathrm{d}x=\tfrac{27}{8}$

$\small t^3-\tfrac{1}{4}t^4 =\tfrac{27}{8}\qquad 0<t<3$

Svar #4
18. november 2018 af mi28

#1
a)

$\small V=\pi \cdot \int_{0}^{3}-f(x)\mathrm{d}x$

hvorfor er -f(x)?

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. november 2018 af mathon

...fordi V regnes positivt og f(x) < 0 i fjerde kvadrant.

Svar #6
18. november 2018 af mi28

tusind tak

Brugbart svar (0)

Svar #7
18. november 2018 af Sveppalyf

#2
hvor kommer 3?

Grafen skærer førsteaksen i punkterne x=0 og x=3.

Brugbart svar (0)

Svar #8
18. november 2018 af ringstedLC

#5: Korrekt, men da:

$\begin{align*} V &= \pi\cdot \int_{0}^{3}\left ( f(x) \right )^2\;dx \end{align*}$

- er der ingen grund til det.

Brugbart svar (0)

Svar #9
18. november 2018 af mathon

korrektion:

$\small \small V=\pi \cdot \int_{0}^{3}f(x)^2\mathrm{d}x=\pi \cdot \int_{0}^{3}(x^3-3x^2)^2\mathrm{d}x=\pi \cdot \int_{0}^{3}(x^6-6x^5+9x^4)\mathrm{d}x=$

$\small \pi \cdot\left [\tfrac{1}{7}x^7-x^6+\tfrac{9}{5}x^5 \right ]_{0}^{3}=\pi \cdot \left (\tfrac{1}{7}\cdot 3^7-3^6+\tfrac{9}{5}\cdot 3^5 \right )=\pi \cdot3^5\cdot \left (\tfrac{9}{7}-3+\tfrac{9}{5} \right )=$

$\small \pi \cdot3^5\cdot \tfrac{45-105+63}{35}=\pi \cdot3^5\cdot \tfrac{3}{35}=\pi \cdot \tfrac{3^6}{35}$

Skriv et svar til: integral regning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.