Matematik

lineær algebra

27. november 2018 af sajana - Niveau: Universitet/Videregående

har brug for hjælp til dette spørgsmål. Hvordan kan man vise at den ikke er bijektiv?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2018-11-27 kl. 17.40.20.png

Svar #1
27. november 2018 af sajana

her er opgaven

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2018-11-27 kl. 17.40.12.png

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. november 2018 af peter lind

Udregn determinanten af afbildningsmaticen. Hvis den ikke er 0 er den bijektiv

Svar #3
27. november 2018 af sajana

har jeg gjort og det giver mening nu. Mange tak

Svar #4
27. november 2018 af sajana

er lidt forvirret her. Hvordan finder man vektoren b=b1,b2,b3?

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2018-11-27 kl. 18.18.37.png

Brugbart svar (0)

Svar #5
27. november 2018 af oppenede

Kernen udspændes af (1, 1, -1), dvs. der skal gælde

(1, 1, -1) • b = 0
b₁ + b₂ = b₃

Svar #6
27. november 2018 af sajana

Det forstår jeg ikke. Hvorfor er det (1,1,-1) of hvorfor skal det være lig med 0

Brugbart svar (0)

Svar #7
27. november 2018 af oppenede

Hov #5 er forkert, det er kernen af den transponerede afbildningsmatrix som er den del af codomænet der ikke antages. Denne kerne uspændes af (1, -1, 3)

(1, -1,3) • b = 0
b₁ + 3b₃ = b₂

Billedet af en lineær afbildning er altid nulvektoren, en linje, et plan, et rum, osv.
Rangen af din afbildningsmatrix er 2, dvs. billedet er et plan i rummet, da et plan udspændes af to lineært uafhængige vektorer. (1, -1, 3) er normalvektoren til planet.

Svar #8
28. november 2018 af sajana

jeg forstår stadig ikke hvordan du finder frem til at det er (1,-1,3)? hvor ved du det fra. Hvad vil det sige at det er codomænet???

Svar #9
29. november 2018 af sajana

Er det ikke (4 1 -1)

Brugbart svar (0)

Svar #10
29. november 2018 af oppenede

Afbildningsmatricen er
$\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)$

Billedet til et vilkårligt element (x₁, x₂, x₃) fra domænet er
$\\\left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{array} \right)= x_1\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)+x_2\left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} \right)+x_3\left( \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\\text{ }\hspace{4.18cm}=\left( \begin{array}{c} x_1-x_2 \\ x_1+2 x_2+3 x_3 \\ x_2+x_3 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right)$

Dvs. billedet tilhører det underrum af codomænet, som udspændes af søjlerne i afbildningsmatricen.

Ovenstående parametrisering af underrumet ved x₁, x₂ og x₃ er en overparametrisering, da søjlerne ikke er lineært uafhængige. Den sidste søjle er summen af de to første, og kan derfor udelades. Dvs. der eksisterer s og t så

$\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right)= s\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)+t\left( \begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} \right)$

Disse søjler er lineært uafhængige, da den ene er 0 i den tredje koordinat, mens den anden er ikke-nul.
Det er derfor en bijektiv parametrisering af et plan. Planligningen er (1, -1,3) • b = 0.

Det at tage ortogonalkomplementet af et underum U er sin egen invers. Altså (U) = U.
Ortogonalkomplementet er givet ved
$(\text{span}\{v_1,\ \ldots\ ,v_m\})^\perp = \{b\in \mathbb{R}^n: b\cdot v_i=0\ \ \forall i\in\{1,\ \ldots\ ,m\}\}$

Dvs. de ligninger du skal bruge baserer sig på en basisvektorerne for orthogonalkomplementet af det underrum som søjlerne af afbildningsmatricen udspænder.

Skriv et svar til: lineær algebra

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.