Matematik

Diskuter hvorfor Al-Khwarizmi ikke angiver en generel metode til løsning af andengradsligninger

18. december 2018 af NicolaiVH (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej alle.
Jeg er godt igang med min srp, hvor jeg arbejder med følgende emne: Matematikkens oprindelse og udvikling - Arabertallens oprindelse og dets virkning i vestlig matematik.
Her arbejder jeg meget med Al-Khwarizmi og hans metoder til løsning af algebra, dog ville jeg høre om nogle kunne hjælpe mig, jeg bliver spurgt følgende:

Diskuter hvorfor Al-Khwarizmi ikke angiver en generel metode til løsning af andengradsligninger

Kan ikke umiddelbart tænke på nogle teorier om hvorfor han ikke stiller en direkte metode til løsning af 2. gradsligninger.
God dag

Brugbart svar (1)

Svar #1
18. december 2018 af swpply (Slettet)

Al-Khwarizmi giver en general metode til at frembringe følgende identitet opkaldt efter ham

$ax^2+bx+c = a\bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}$

Ønsker du derfor at løse andengradsligningen

$ax^2+bx+c = 0$

skal du derfor iflg. al-Khwarizmi blot løse

$\bigg(x+\frac{b}{2a}\bigg)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

At al-Khwarizmi ikke fortsætter ved at tage kvadratroden af begge sider af ovenstående og derved nå til vores velkendte formel for løsningen til en general andengradsligning, skyldes formegentligt at vi ikke generalt kan sikre os at højresiden er ikke-negativ og da komplekse tal først bliver indført i 1600-tallet (af italieneren Gerolamo Cardano) vil det være uhørt på al-Khwarizmi tid at snakke om kvadratroden af et negativt tal.

Husk at vi lære at diskriminanten $d = b^2-4ac$ skal være ikke-negativ for at en andengradsligning har mindst en løsning. Dette er præcist det kriterie der sikre at højre siden af ovenstående er ikke-negativt og at det derfor er meningsfuldt at tage kvadratroden deraf.

Brugbart svar (1)

Svar #2
18. december 2018 af swpply (Slettet)

Du kan overveje at illustrere/tydeliggøre ovenstående diskussion ved at betragte følgende eksempel

$x^2+2x+2 = 0.$

Hvilket iflg. al-Khwarizmis identitet kan skrives

$(x+1)^2+1 = 0.$

Det er præcist situationer som denne der gør at al-Khwarizmi ikke kan fortsætte og dermed give en general metode til løsningen af generalle andengradsligninger.

Svar #3
18. december 2018 af NicolaiVH (Slettet)

Mange tak skal du have, det har givet mig mere forståelse for opgaven.
Fortsat god dag!

Skriv et svar til: Diskuter hvorfor Al-Khwarizmi ikke angiver en generel metode til løsning af andengradsligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.