Matematik

Reducering af a(x + delta x)^n

30. december 2018 af JvdB100 - Niveau: 10. klasse

Jeg er gået igang med beviset for differentialregning (tretrinsreglen) med ren algebra. Jeg vil på den måde bevise, at x^n bliver til nx^(n-1), kx bliver til k, og k bliver til 0 ( https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/differentialregning/afledede-funktioner ). Indtil videre er det her mine mellemregninger:

(f(x + delta x) - f(x)) : delta x

((a(x + delta x)^n + b(x + delta x) + c) - (ax^n + bx + c)) : delta x

(a(x + delta x)^n + b(x + delta x) + c - ax^n - bx - c) : delta x

(a(x + delta x)^n + bx + b delta x - ax^n - bx) : delta x

(a(x + delta x)^n + b delta x - ax^n) : delta x

Her er jeg gået i stå, fordi jeg ikke ved, hvordan man reducerer den der a(x + delta x)^n. Jeg har spurgt mine forældre, og de vidste det heller ikke. Jeg håber, at der er nogen, der har lyst til at hjælpe :)

Brugbart svar (1)

Svar #1
30. december 2018 af guuoo2

Det er nemmere at bruge induktion.

Antag at a·xⁿ differentierer til a·n·x^n-1 for et eller andet n.

Dermed kan du differentiere a·xⁿ⁺¹ med produkreglen, da a·xⁿ⁺¹ = (a·xⁿ)·(x)

Brugbart svar (1)

Svar #2
30. december 2018 af AMelev

#0 Hvis du vil differentiere f(x) = xⁿ, er der hverken a eller b blandet ind i funktionen, så dine mellemregninger er forkerte.
$\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x)^{n}-x^n}{\Delta x}$
Det kræver kombinatorik til at regne videre på den, så det er måske smartere at følge forslaget fra #1.
Begge beviser kan ses her.

Svar #3
04. januar 2019 af JvdB100

#1
Det er nemmere at bruge induktion.

Antag at a·xn differentierer til a·n·xn-1 for et eller andet n.

Dermed kan du differentiere a·xn+1 med produkreglen, da a·xn+1 = (a·xn)·(x)

Tak for hjælpen!! Jeg kæmper lidt med induktionen, men lidt mere research, og så tror jeg, at jeg forstår det :)

Brugbart svar (0)

Svar #4
04. januar 2019 af Soeffi

#0. Det generelle bevis ved hjælp af binomialkoefficienter:

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=$

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\binom{n}{0}\cdot x^n+\binom{n}{1} \cdot x^{n-1}\cdot h+\binom{n}{2} \cdot x^{n-2}\cdot h^2+...+\binom{n}{n}\cdot h^n-x^n}{h}=$

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^n+n \cdot x^{n-1}\cdot h+\binom{n}{2} \cdot x^{n-2}\cdot h^2+...+ h^n-x^n}{h}=$

$\lim_{h\rightarrow 0}\left (n \cdot x^{n-1}+\tbinom{n}{2} \cdot x^{n-2}\cdot h+...+ h^{n-1} \right )=$

$n \cdot x^{n-1}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. januar 2019 af swpply (Slettet)

Sætning: Potensfunktionen

$f(x) = x^a,\ a\in\mathbb{R}$

har den afledede

$f^\prime(x) = ax^{a-1}.$

Bevis. Vi vil bevise sætningen ved logaritmisk differentiation. Vi har at der generalt gælder at

$f^\prime(x) = f(x)\cdot\big(\ln f(x)\big)^\prime,$

hvorfor at vi finder at

$f^\prime(x) = x^{a}\cdot\frac{a}{x} = ax^{a-1}.$

Q.E.D.

Brugbart svar (0)

Svar #6
04. januar 2019 af AMelev

Se, om powerpointen i dette link hjælper dig (du skal downloade filen og åbne med PowerPoint, Google Slides får ikke set hele med).

Brugbart svar (0)

Svar #7
04. januar 2019 af swpply (Slettet)

Sætning: Potensfunktionen

$f(x) = x^n,\ n\in\mathbb{N}_0$

har den afledede

$f^\prime(x) = nx^{n-1}.$

Bevis. Vi vil bevise sætningen ved induktion på $n$ . Vi vil først vise basisskridtet ( $n=0$ ), vi har at

$f(x) = x^0 = 1 \quad\Rightarrow\quad f^\prime(x) = 0.$

Vi vil nu vise induktionsskridtet. Antag at sætningen er sand for $n$ (dette er induktionsantagelsen), vi vil nu vise at dette medføre at sætningen nødvendigvis også er sand for $n+1$ . Vi har at

$f(x) = x^{n+1} = x\cdot x^n,$

bruger vi nu produktreglen for differentiation samt induktionsantagelsen, så finder vi at

$f^\prime(x) = x^n + x\cdot nx^{n-1} = (n+1)x^n.$

Q.E.D.

Brugbart svar (0)

Svar #8
04. januar 2019 af swpply (Slettet)

Bemærk at sætningen i #5 er mere general end sætningen i #7 (sætning #7 fremkommer som et specialtilfælde af sætning #5), samt at beviset for #5 er kortere end induktionsbeviset for #7.

Skriv et svar til: Reducering af a(x + delta x)^n

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.