Matematik

cylinder

04. januar 2019 af halløjjjjj (Slettet) - Niveau: B-niveau

hvordan løser jeg denne opgave?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2019-01-04 10.10.54.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. januar 2019 af swpply (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. januar 2019 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. januar 2019 af mathon

Overflade:
$\small O=\pi \cdot r^2+h\cdot 2\pi r$ $\small \small 1000=h\cdot \pi \cdot r^2\Leftrightarrow h\cdot \pi \cdot r=\frac{1000}{r}$

hvoraf:
$\small O(r)=\pi \cdot r^2+\frac{2000}{r}$

Minimal overflade
kræver bl.a.
$\small \small O{\, }'(r)=2\pi \cdot r-\frac{2000}{r^2}=0$

Svar #4
04. januar 2019 af halløjjjjj (Slettet)

tak men hvordan bestemmer jeg radius og højde

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. januar 2019 af mathon

$\small \small \small 2\pi \cdot r_o-\frac{2000}{{ r_o}^2}=0$

$\small \pi \cdot r_o-\frac{1000}{{r_o}^2}=0$

$\small \pi \cdot{ r_o}^3-1000=0$

$\small r_o=\left (\frac{1000}{ \pi } \right )^{\frac{1}{3}}$

...
$\small \small h=\frac{1000}{\pi \cdot {r_o}^2}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
04. januar 2019 af swpply (Slettet)

Volumenet af den cylinderformet beholder er bestemt ved

$V = \pi r^2 h.$

Du skal nu minimere overfladearealet

$A = 2\pi r(h + r)$

under bibetingelsen at volumenet er 1L. Denne bibetingelse giver dig at højden h kan udtrykkes ved radius

$h = \frac{1000}{\pi r^2}$

og dermed bliver overfladearealet en funktion af kun radius r

$\begin{align*} A(r) &= 2\pi r\bigg(\frac{1000}{\pi r^2} + r\bigg) \\ &= \frac{2000}{r} + 2\pi r^2. \end{align*}$

Den afledede af A(x) bestemmes ved de sædvanlige regneregler til

$\begin{align*} A^\prime(r) &= 4\pi r - \frac{2000}{r^2}, \end{align*}$

hvorfor at

$\begin{align*} A^\prime(r) = 0 \quad&\Leftrightarrow\quad 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \\ &\Leftrightarrow\quad 4\pi r^3 - 2000 = 0 \\ &\Leftrightarrow\quad r = \bigg(\frac{500}{\pi}\bigg)^\frac{1}{3}. \end{align*}$

Vis nu ved monotoniforhold overvejelser at $r = (\tfrac{500}{\pi})^\frac{1}{3}$ er et globalt minimum (husk r ≥ 0).

Skriv et svar til: cylinder

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.