Matematik

Differentialligninger

07. februar 2019 af Einsteinb - Niveau: A-niveau

Hejjjj alle, jeg sidder fast i den her opgave, og jeg ved simpelthen ikke, hvad jeg skal gøre? Nogle der kan hjælpe?

Angiv den løsning til differentialligningen, der går gennem punktet (x0,y0) når

1. dy/dx = y^2 + y^2 * tan^2 * x og (x0,y0) = (pi/4,-1)

2. dy/dx = y/x. og (x0,y0) = (-3,4)

3. dy/dx = y^2 * e^x. og (x0,y0) = (-ln(2),-1/2)

Tak på forhånd!

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. februar 2019 af oppenede

1/3) Divider med y² og integrer begge sider.
2) Divider med y på begge sider og integrer.

F.eks. 3'eren:
$\\y'(x) = y(x)^2 \cdot e^x \\[0.2cm]\frac{1}{y(x)^2}y'(x) = e^x \\[0.2cm]\int\frac{1}{y(x)^2}y'(x)dx = \int e^x dx \\[0.2cm]\frac{-1}{y(x)} = e^x+k \\[0.2cm]y(x) = \frac{-1}{e^x+k}$

Svar #2
07. februar 2019 af Einsteinb

Tusinde tak! Men hvad gør jeg med punktet? Skal det ikke også bruges til noget

Brugbart svar (1)

Svar #3
07. februar 2019 af mathon

1)
der skal vel stå

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=y^2+y^2\cdot \tan^2(x)$

$\small \begin{array}{llllll} &\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}&=&y^2(1+\tan^2(x) )&&\textup{de variable separeres}\\\\ &\frac{1}{y^2}\mathrm{d}y&=&(1+\tan^2(x))\mathrm{d}x&&\textup{der integreres}\\\\ &\int \frac{1}{y^2}\mathrm{d}y&=&\int (1+\tan^2(x))\mathrm{d}x\\\\ &-\frac{1}{y}&=&\tan(x)+k_1 \\\\ &y&=&\frac{-1}{\tan(x)+k}\\\\ &-1&=&\frac{-1}{\tan\left ( \frac{\pi }{4} \right )+k}\\\\ &\tan\left ( \frac{\pi }{4} \right )+k&=&\frac{-1}{-1}=1\\\\ &1+k&=&1\\\\ &k&=&0\\\\ \textup{l\o sning:}&y&=&\frac{-1}{\tan(x)} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. februar 2019 af mathon

2)
$\small \small \begin{array}{llllll} &\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}&=&\frac{y}{x}&&\textup{de variable separeres}\\\\ &\frac{1}{y}\mathrm{d}y&=&\frac{1}{x}\mathrm{d}x&&\textup{der integreres}\\\\ &\int \frac{1}{y}\mathrm{d}y&=&\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x\\\\ &\ln(\left |y \right |)&=&\ln\left | x \right |+k_1 \\\\ &y&=&k\cdot \left | x \right |\\\\ &4&=&k\cdot \left | -3 \right |\\\\ &k&=&\frac{4}{3}\\\\ \textup{l\o sning:}&y&=&\frac{4}{3}\left | x \right | \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. februar 2019 af mathon

3)
$\small \small \small \begin{array}{llllll} \textup{l\o sning:}&y&=&\frac{-1}{e^x+k}&&\\\\ &-\frac{1}{2}&=&\frac{-1}{e^{\ln\left(\frac{1}{2}\right)}+k}\\\\ &-\frac{1}{2}&=&\frac{-1}{\tfrac{1}{2}+k}\\\\ &\frac{1}{2}&=&\frac{2}{1+2k}\\\\ &2&=&\frac{1+2k}{2}\\\\ &4&=&1+2k\\\\ &3&=&2k \\\\ &k&=&\frac{3}{2}\\\\ &y&=&\frac{-1}{e^x+\tfrac{3}{2}} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. februar 2019 af AMelev

Alternativt: Benyt dit CAS-værktøj til at løse differentialligningen med betingelsen (y(x0) = y0)

Skriv et svar til: Differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.