Matematik

Differentialregning

21. marts 2019 af randombruger24 - Niveau: B-niveau

Jeg har fået de her opgaver som lektie, og jeg forstår simpelthen ikke hvordan jeg skal løse dem. Nogle der kunne komme med et godt bud af en besvarelse?

1. Forklar hvad der forstås ved, at en funktion f er differentiabel i x₀, og forklar hvad der forstås ved differentialkvotienten af f i x₀, som betegnes f'(x₀).
Du skal ledsage dine forklaringer med en passende illustration, og du skal komme ind på sammenhængen mellem sekant- og tangenthældning.

2. Udled differentialkvotienten for f(x)=x² ved hjælp af tre-trins-reglen, idet du forklarer hvert enkelt trin i udledningen.

3. Opstil på baggrund af punkt 2 den generelle regel for differentiation af xⁿ.

4. Udled ligningen for tangenten til grafen for en differentiabel funktion f itangentens røringspunkt P(x₀,f(x₀)).

5. Lad f(x)=-x²+8x-7

a. Bestem ligningen for tangenten til grafen for f i røringspunktet (2, 5).

b. Bestem ligningen for den tangent til grafen for f, der er parallel med linjen y=2x-5.

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. marts 2019 af mathon

Differentialkvotienten er grænseværdien for sekantens hældningskoefficient, når sekanten går mod sin grænselinje, som er tangenten .

1. trin
$\small (x_o+h)^2-{x_0}^2={x_o}^2+2x_0h+h^2-{x_o}^2=2x_0h+h^2=\left (2x_0+h \right )h$

2. trin
$\small \frac{(x_0+h)^2-{x_o}^2}{h}=\frac{(2x_o+h)h}{h}=2x_o+h$

3. trin
$\small f{\, }'(x_o)=\underset{h \to 0}{\lim} \frac{(x_o+h)^2-{x_o}^2}{h}=2x_o+0=2x_o$

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. marts 2019 af mathon

3.
$\small \left ( x^2 \right ){\, }'=2\cdot x^{2-1}$

$\small \left ( x^n \right ){\, }'=n\cdot x^{n-1}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. marts 2019 af mathon

For tangenten i (x_o,f(x_o)) = (x_o,y_o)
gælder:

$\small \underset{x \to x_o}{\lim}\frac{y-y_o}{x-x_o} =f{\, }'(x_o)$

$\small y-y_o=f{\, }'(x_o)\cdot (x-x_o)$

$\small y=f{\, }'(x_o)\cdot (x-x_o)+y_o$

$\small y=f{\, }'(x_o)\cdot (x-x_o)+f(x_o)$

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. marts 2019 af AMelev

1. & 2.
At f er differentiabel i x0 betyder, at differenskvotienten $a_s=\frac{\Delta f}{h}=\frac{f(x0+h)-f(x0)}{h}$ har en grænseværdi, når h går mod 0.
Differentialkvotienten f '(x0) er det tal, som differenskvotienten nærmer sig til, når h nærmer sig 0, dvs. når punktet P_h(x0 + h,f(x0 + h)) nærmer sig P₀(x0,f(x0)) på grafen.
Differenskvotienten a_s er hældningen for sekanten, der går gennem P₀ og P_h. Når h→0 nærmer a_s sig f '(x0). Sekanten vil derfor "vippe" om P₀ og nærme sig en limje gennem med hældning f '(x0). Denne "grænselinje" kaldes tangenten i P₀.
Se evt. dette link, specielt videoerne 02 og 09 .

4. Anvend formlen for hældningskoefficient. $a=\frac{y-y0}{x-x0}=\frac{y-f(x0)}{x-x0}$
Isoler y og indsæt f '(x0) for a.

Skriv et svar til: Differentialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.