Matematik

Projektion af et punkt på en linje

22. marts 2019 af Kraes4 - Niveau: A-niveau

Hej, har denne her opgave jeg ikke forstår hvordan jeg skal løse.

Beregn koordinaterne til projektion af punktet P(5,4) på linjen med ligningen y = 4-2x

Har fundet en anden tråd herinde, men forstod ikke hvordan ham der kom med svaret kom frem til vises tal. er der er en der vil pege mig i den rigtige retning?

Svar #1
22. marts 2019 af Kraes4

Dette er hvad jeg har gjort indtil videre, men kan se at det er forkert.

Vedhæftet fil:vektor.png

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. marts 2019 af mathon

Beregn koordinaterne til projektion af punktet P(5,4) på linjen med ligningen 2x + y - 4 = 0,
hvis normalvektor
er
$\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}$ .

Projektionslinjen gennem P(5,4) vinkelret på 2x + y - 4 = 0 er parallel med normalvektoren $\overrightarrow{n}$ ,
hvorfor en retningsvektor for projektionslinjen er $\overrightarrow{r}=\bigl(\begin{smallmatrix} 2\\1 \end{smallmatrix}\bigr)$ .
En parameterfremstilling for projektionslinjen
er defor:

$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\4 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}\qquad t\in\mathbb{R}$

Projektionspunktet er skæringspunktet mellem projektionslinjen og linjen,
hvilket kræver:
2x + y - 4 = 0
og
$\begin{array}{l} x=5+2t\\ y=4+t \end{array}$

dvs
$2\cdot (5+2t) + (4+t) - 4 = 0$

$10+4t + 4+t - 4 = 0$

$5t = -10$

   $t = -2$
dvs
   punktet
   $(x,y)=(5+(-2)\cdot 2,4+(-2) )=(1,2)$

Svar #3
22. marts 2019 af Kraes4

Tak mathon!
Jeg fandt også frem til svaret, men har gjort det på en lidt anden måde.

Kigger lige dit svar igennem, og prøver at forstå det :)

Vedhæftet fil:vektorloes.png

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. marts 2019 af AMelev

PoP er ikke (1,2), men (4,2). Du får dog stadig skalarprodukt 0.
Din metode er OK, men du er så heldig/uheldig, at du får valgt Po, som tilfældigvis er projektionen af P. PoP står vinkelret på linjen, så Po er projektion af P.
Hvis du i stedet havde valgt fx (0,4) kunne du have gennemført processen.

En anden metode, som måske er lettere, er at bestemme parameterfremstillingen for projektionslinjen gennem P og bestemme skæringspunktet mellem denne og linjen vesd at sætte parameterudtrykkene in i linjens ligning og løse den mht. t.

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. marts 2019 af mathon

...eller:

$\small Q(0,4)\textup{ ligger p\aa \ linjen }\; y=-2x+4\textup{ med retningsvektor }\overrightarrow{r}=\bigl(\begin{smallmatrix} 1\\-2 \end{smallmatrix}\bigr)$
$\small P_{proj}\textup{ findes derfor af:}$

$\small \overrightarrow{OP}_{proj}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QP}_{proj}$

$\small \overrightarrow{QP}_{proj}=\frac{\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{r} }{\left | \overrightarrow{r} \right |^2}\cdot \overrightarrow{r}=\frac{\begin{pmatrix} 5\\0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}}{1+(-2)^2}\cdot \begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}=\frac{5}{5}\cdot \begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}$

hvoraf
$\small \overrightarrow{OP}_{proj}=\begin{pmatrix} 0\\4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}$

Et punkt har samme koordinater som sin stedvektor
hvorfor
$\small P_{proj}=(1,2)$

Svar #6
22. marts 2019 af Kraes4

AMelev - Jeg tænkte nok der foregik et eller andet med mit punkt Po! Så var jeg ikke helt forkert på den, tak :)

Og Mathon - tak igen! Altid dejligt med god hjælp :)

Brugbart svar (0)

Svar #7
22. marts 2019 af AMelev

#3 Hvor kommer vektoren a = (5,0) fra?
Du har desuden glemt at sætte nævneren i anden.
Du er ikke færdig, når du har fundet projektionsvektoren PoQ. Du skal bestemme koordinatsættet til Q.
OQ = OPo + PoQ.

Din metode med Po(0,4): $\overrightarrow{PoP}=\binom{5}{0}\: \textup{og}\: \vec{r}=\binom{1}{-2}$
$\overrightarrow{PoQ}=\frac{\overrightarrow{PoP}\cdot \vec{r}}{|\vec{r}|^2}\cdot \vec{r}= \frac{\binom{5}{0}\cdot \binom{1}{-2}}{1^2+(-2)^2}\cdot \binom{1}{-2}= \frac{5}{5}\binom{1}{-2}=\binom{1}{-2}$
$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OPo}+\overrightarrow{PoQ}= \binom{0}{4}+\binom{1}{-2}=\binom{1}{2}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
22. marts 2019 af oppenede

Du kan starte med at forskyde både linje og punkt med -4 i y-retningen, så linjen går gennem (0, 0).

Det ændrer linjeligningen til y = -2x og punktkoordinaterne til (5, 0).

Den forskudte linje har retningsvektor (1, -2), og projektion af (5, 0) derpå er (1, -2), som forskydes tilbage med +4 langs y-retningen til (1, 2).

Skriv et svar til: Projektion af et punkt på en linje

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.