Matematik

cirkelligning

23. april 2019 af KennethLarsens - Niveau: B-niveau

Jeg har en cirkel hvis ligning lyder følgende:

x2-6x+y2+2y+1=0

a.) Bestem cirklen radius og koordinatsættet til cirklens centrum:

jeg ved jeg skal bruge en kvadratsætning, men jeg ved ikke hvilken eller hvordan.

b.) Undersøg ved beregning om ligningen 3x-4y+3=0 er en tangent til cirklen:

Skal de sættes lig hinanden, hvordan solver jeg dem så, hvilke værdier skal jeg søge efter


Brugbart svar (0)

Svar #1
23. april 2019 af Mathias7878

a) Det du egentlig gør er at 'halvere', dvs. x^2-6x bliver til (x-3)^2 og så trækker man det samme tal fra som står inde i parentesen, dvs. -3^2.

x^2-6x+y^2+2y+1 = 0

(x-3)^2-3^2+(y+1)^2-1^2+1 = 0

(x-3)^2+(y+1)^2 = 3^2+1^2-1

(x-3)^2+(y+1)^2 = 9

C(a,b) = (3,-1) \ og \ r = \sqrt{9} = 3

- - -

 

 


Brugbart svar (0)

Svar #2
23. april 2019 af mathon

                       \small \begin{array}{llllll} x^2-6x+y^2+2y+1=0\\\\ x^2-6x+3^2-9+y^2+2y+1-1+1=0\\\\ \left (x^2-6x+3^2 \right )-9+\left (y^2+2y+1 \right )-1+1=0\\\\ (x-3)^2+(y+1)^2=3^3 \end{array}       


Svar #3
23. april 2019 af KennethLarsens

jeg forstår ikke helt, hvor kommer -32 fra i linje 2, uden for parentesen?


Brugbart svar (0)

Svar #4
23. april 2019 af Mathias7878

Uden at være helt sikker tror jeg, at det har noget at gøre med følgende:

x^2-6x

kan vha 'kvadratsætningerne' omskrives til

(x-3)^2

da

(x-3)^2 = x^2-6x+9

men da der i overstående er et 9-tal, som ikke er i den oprindelige ligning, trækkes 9 fra uden for parentesen for at udligne.

- - -

 

 


Svar #5
23. april 2019 af KennethLarsens

#2

                       \small \begin{array}{llllll} x^2-6x+y^2+2y+1=0\\\\ x^2-6x+3^2-9+y^2+2y+1-1+1=0\\\\ \left (x^2-6x+3^2 \right )-9+\left (y^2+2y+1 \right )-1+1=0\\\\ (x-3)^2+(y+1)^2=3^3 \end{array}       

Men hvordan, hvilken kvaratsætning bruger du, tror den skal skæres helt ud i pap hahah


Brugbart svar (1)

Svar #6
23. april 2019 af Eksperimentalfysikeren

Du benytter kvadratsætningen (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.

Vi ser på x. y behandles på samme måde.

Du kan se, at x2 er kandidat til at være a2. I så fald skal -6x være lig med 2ab = 2bx, så der må gælde, at 2b=-6, hvilket giver b=-3. Der skal så være et led, b2 = (-3)2 for at få hele højresiden af kvadratsætningen. Det lille problem løses ved at lægge (-3)2 til og trække det fra igen. Denne proces kaldes kvadratkomplettering. Derefter kan man bruge kvadratsætningen fra venstre mod højre: x2 -6x + (-3)2 - (-3)2= (x+(-3))2 -(-3)2= (x-3)2 + 32.


Brugbart svar (0)

Svar #7
23. april 2019 af Eksperimentalfysikeren

Du kan også bruge sætningen for (a-b)2 og dermed få b=+3. Denne sætningen er faktisk den samme som den anden: (a-b)2 = (a+c)2 hvis c=-b.


Brugbart svar (0)

Svar #8
23. april 2019 af mathon

En ligning kan ikke være tangent til en cirkel, 
men grafen for ligningen kan være tangent.

Beregn afstanden fra cenrum (3,-1 ) til linjen 3x-4y+3=0.
Er afstanden lig med radius = 3, er linjen tangent.


Brugbart svar (0)

Svar #9
23. april 2019 af mathon

skal selvfølgelig være

               \small (x-3)^2+(y+1)^2=3^{\color{Red} 2}


Svar #10
23. april 2019 af KennethLarsens

#9

skal selvfølgelig være

               \small (x-3)^2+(y+1)^2=3^{\color{Red} 2}

Men jeg forstår ikke helt hvilken kvadratsætning du bruger, er det den samme som i svar #7?


Brugbart svar (0)

Svar #11
23. april 2019 af Mathias7878

#10
#9

skal selvfølgelig være

               \small (x-3)^2+(y+1)^2=3^{\color{Red} 2}

Men jeg forstår ikke helt hvilken kvadratsætning du bruger, er det den samme som i svar #7?

Det er ikke vigtigt at vide, hvilken kvadratsætning man skal anvende. Det vigtige er at forstå, hvad man gør, hvilket forklares rigtig fint i #7.

- - -

 

 


Svar #12
23. april 2019 af KennethLarsens

#11
#10
#9

skal selvfølgelig være

               \small (x-3)^2+(y+1)^2=3^{\color{Red} 2}

Men jeg forstår ikke helt hvilken kvadratsætning du bruger, er det den samme som i svar #7?

Det er ikke vigtigt at vide, hvilken kvadratsætning man skal anvende. Det vigtige er at forstå, hvad man gør, hvilket forklares rigtig fint i #7.

Jeg har bare rigtig svært ved at forstå det, jeg forstår slet ikke hvor +32 og -9 og alle 1 tallene kommer fra, derfor tror jeg det ville være rart at have kvadratsætningen, da det er den vi skal forklare ud fra


Brugbart svar (1)

Svar #13
23. april 2019 af oppenede

'Omskriv til cirklens ligning' betyder omskriv til formen:
   (x - cx)2 + (y - cy)2 = r2

Den givne ligning er
   x2 - 6x + y2 + 2y + 1 = 0
som også er cirklens ligning, men med parenteserne ganget ud.

Betragt først x-ledene alene:
     x2 - 6x + y2 + 2y + 1 = 0
De svarer næsten til
   (x - 3)2 = x2 - 6x + 9
hvor x og -3 i parentesen er valgt så to af de led som man får ved at
gange ud svarer til dem i den givne ligning. Træk 9 fra på hver side.
   (x - 3)2 - 9 = x2 - 6x

Dvs. de to første led  x2 - 6x  i den givne ligning kan erstattes med (x - 3)2 - 9
   (x - 3)2 - 9 + y2 + 2y + 1 = 0

På samme måde kan  y2 + 2y  erstattes af (y + 1)2 - 1. (prøv selv at gange ud).


Svar #14
23. april 2019 af KennethLarsens

Skal 1 plusses på begge sider i y delen?


Svar #15
23. april 2019 af KennethLarsens

og hvad skal der gøres bagefter, de skal vel ganges sammen?


Svar #16
23. april 2019 af KennethLarsens

?


Brugbart svar (0)

Svar #17
23. april 2019 af oppenede

Du skal se på x-ledene og y-ledene for sig
      (x2 - 6x)  +  (y2 + 2y)  + 1 = 0 
og kvadratkomplementere hver del.

De kvadratkomplementeringer der skal bruges er:
        x2 - 6x   =  (x - 3)2 - 9                                 - Kan du verificere disse ligheder ved at gange ud på
        y2 + 2y  =  (y + 1)2 - 1                                   højresiderne og dermed få det der står på venstresiderne?
På baggrund af disse kan den givne ligning skrives som 
     (x - 3)2 - 9    +   (y + 1)2 - 1   + 1 = 0 
Som ved at flytte rundt på ledene bliver til 
      (x - 3)2 + (y + 1)2 = 9

b) Undersøg ved beregning om ligningen 3x-4y+3=0 er en tangent til cirklen

Du kan f.eks. bestemme afstanden mellem centrum og linjen.
Hvis linjen er tangent hvad vil afstanden så være?


Skriv et svar til: cirkelligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.