Matematik

Separation

08. september 2019 af AnOp - Niveau: A-niveau

Jeg har fået givet differentialligningen:

$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-4}{y}$

Med begyndelsesbetingelsen P(3,2)

Jeg skal separere ligningen, men har ikke fået opgivet et x, så jeg tænkte at jeg kunne gange et 1 tal på differentialligningen som så differentieret ville blive til x.

Altså:

$\frac{dy}{dx}=\frac{y^2-4}{y} *1$

Ved at differentiere:

$\int \frac{1}{\frac{y^2-4}{y}}dy = \int 1dx$

$\int \frac{1}{\frac{y^2-4}{y}}dy = x$

Men er dette korrekt?

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. september 2019 af MatHFlærer

Du er på rette vej.

$\int \frac{1}{\frac{y^2-4}{y}}dy=\int xdx\iff \int \frac{y}{y^2-4}dy=x+k_1$

Så det er bare at integrere for $y$ . Prøv at gør det, du skulle gerne ende med at have

$\frac{1}{2}\ln(y^2-4)=x+k_1\iff ... \iff y=\sqrt{ke^{2x}+4}\vee y=-\sqrt{ke^{2x}+4}$

Bemærk, at jeg skifter fra $k_1$ til $k$ , fordi det blot er tal. Et lille hint: $e^{2k_1}=k$ fordi $e$ også er et tal.

Når du så har løsningen, så skal du bestemme den partikulære løsning $y(3)=2$ , og fortvivl ej over det svar du får.

Svar #2
08. september 2019 af AnOp

#1
Du er på rette vej.

$\int \frac{1}{\frac{y^2-4}{y}}dy=\int xdx\iff \int \frac{y}{y^2-4}dy=x+k_1$

Så det er bare at integrere for $y$ . Prøv at gør det, du skulle gerne ende med at have

$\frac{1}{2}\ln(y^2-4)=x+k_1\iff ... \iff y=\sqrt{ke^{2x}+4}\vee y=-\sqrt{ke^{2x}+4}$

Bemærk, at jeg skifter fra $k_1$ til $k$ , fordi det blot er tal. Et lille hint: $e^{2k_1}=k$ fordi $e$ også er et tal.

Når du så har løsningen, så skal du bestemme den partikulære løsning $y(3)=2$ , og fortvivl ej over det svar du får.

Tak for hjælpen! Det giver meget mere mening nu!

Dog undrer jeg mig lidt over hvordan man går fra

$\int \frac{1}{\frac{y^2-4}{y}}dy$

Til :

$\frac{1}{2}ln(y^2-4)$

Svar #3
08. september 2019 af AnOp

Jeg har lige fundet ud af det! Men tak for hjælpen

Skriv et svar til: Separation

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.