Matematik

Bestemme integralet af en stykkevist lineær funktion

28. september 2019 af Lei20 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hvordan bestemmer man integralet af en stykkevist lineær funktion?

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. september 2019 af StoreNord

integrerer et stykke ad gangen og lægger dem sammen.

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. september 2019 af SuneChr

Betragt de enkelte stykker, den stykvise lineære funktion er sat sammen af, og integrér hvert stykke for sig.
Læg integralerne sammen til sidst.
Den stykvise lineære funktion behøver ikke nødvendigvis at være kontinuert.

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. september 2019 af peter lind

Integrere dem i hvert interval for sig. Du må bare sørge for at funktionen bliver kontinuert. Hvis du for eks. har at f(x) for x<a og g(x) >a så skal du sætte F(a) = G(a)

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. september 2019 af StoreNord

I Geogebra kan du integrere hele funktionen på en gang: Skærmbillede fra 2019-09-28 17-13-22.png

Vedhæftet fil:Skærmbillede fra 2019-09-28 17-13-22.png

Svar #5
28. september 2019 af Lei20 (Slettet)

#4 Er det ikke arealet du får, når du gør det på den måde?

Jeg har en stykkevist defineret funktion f(x):

$1/2x+5, -4\leq x< 2$

$x^2-7x+16,2\leq x$

Opgaven siger, at jeg skal beregne integralet af f med grænserne 6 og -1. Jeg får det til 47,66. Er det rigtigt?

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. september 2019 af StoreNord

Jo, det er arealet.

Hvor slutter din 2. gradsfunktion okay i 6

Brugbart svar (0)

Svar #7
28. september 2019 af StoreNord

Geogebra får ikke helt det samme:

Vedhæftet fil:Skærmbillede fra 2019-09-28 18-40-08.png

Brugbart svar (0)

Svar #8
28. september 2019 af StoreNord

I #7 var integralet fra -4 til 6 = 48.33
Men integralet fra -1 til 6 er: 37.08

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. september 2019 af StoreNord

Vedhæftet fil:Skærmbillede fra 2019-09-28 18-53-22.png

Svar #10
28. september 2019 af Lei20 (Slettet)

Hvordan kom du frem til resultatet i #8?

Brugbart svar (0)

Svar #11
28. september 2019 af StoreNord

Med Geogebra. Men jeg havde integreret fra -4 til 6
I #10 har Geogegebra integreret fra -1 til 6

Brugbart svar (0)

Svar #12
28. september 2019 af ringstedLC

$\begin{align*} f(x) &= \left\{\begin{matrix} \tfrac{1}{2}x+5 &,\;-4\leq x<2 \\ x^2-7x+16 &,\;2\leq x \end{matrix}\right. \\ F(x)&=\left\{\begin{matrix} \tfrac{1}{4}x^2+5x+(c_1) \;,-4\leq x<2 \\ \tfrac{1}{3}x^3-\tfrac{7}{2}x^2+16x+(c_2) \;,2\leq x \end{matrix}\right. \\ \int_{-1}^{6}f(x)\,dx &= \int_{-1}^{2}f(x)\,dx+\int_{2}^{6}f(x)\,dx \\ \int_{-1}^{2}f(x)\,dx&= \left [ \tfrac{1}{4}x^2+5x \right ]\begin{smallmatrix}2\\-1 \end{smallmatrix} \\ &= \left (\tfrac{1}{4}\cdot 2^2+5\cdot 2 \right )-\left (\tfrac{1}{4}\cdot (-1)^2+5\cdot (-1)\right ) \\ &= 11-\left (-\tfrac{19}{4}\right )=\tfrac{63}{4} \\ \int_{2}^{6}f(x)\,dx&=\left [ \tfrac{1}{3}x^3-\tfrac{7}{2}x^2+16x \right ]\begin{smallmatrix}6\\2 \end{smallmatrix} \\ &= \left (\tfrac{1}{3}\cdot 6^3-\tfrac{7}{2}\cdot 6^2+16\cdot 6-\left (\tfrac{1}{3}\cdot 2^3-\tfrac{7}{2}\cdot 2^2+16\cdot 2 \right ) \right ) \\ &= 42-\tfrac{62}{3}=\tfrac{64}{3} \\ \int_{-1}^{6}f(x)\,dx &= \tfrac{445}{12}\approx 37.08 \end{align*}$

Svar #13
28. september 2019 af Lei20 (Slettet)

#12 Hvorfor skal grænserne være 2 og -1 og ikke -4 og 2?

Svar #14
28. september 2019 af Lei20 (Slettet)

Lige meget. Nu forstår jeg det. Mange tak!

Brugbart svar (0)

Svar #15
28. september 2019 af ringstedLC

#13: Fordi:

Opgaven siger, at jeg skal beregne integralet af f med grænserne 6 og -1. Jeg får det til 47,66. Er det rigtigt?

$\begin{align*} -4\leq x<2 &= Dm_f\;,\;f(x)=\tfrac{1}{2}x+5 \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #16
28. september 2019 af AMelev

#5 Du skal bare bruge indskudsreglen. Se din formelsamling s. 27 (164)
2 er et skillepunkt for delfunktionerne, så c = 2 jf. #12 3. linje

Hvis funktionen er positiv er integralet og areal mellem graf og 1.akse det samme.

Skriv et svar til: Bestemme integralet af en stykkevist lineær funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.