Matematik

Bestem de værdier af k, så ligningen f (x)=a har højst én løsning for alle værdier af tallet a.

30. september kl. 20:05 af lenemoller - Niveau: A-niveau

Hej er der nogen, der kan hjælpe mig med denne opgave. 


Brugbart svar (0)

Svar #1
30. september kl. 20:09 af mathon


Brugbart svar (0)

Svar #2
30. september kl. 20:23 af StoreNord

Differentièr f, og sæt diskriminanten til f'  lig med 0.


Brugbart svar (0)

Svar #3
30. september kl. 20:44 af mathon

\small \begin{array}{lllll} b)&f(x)=x^3+k\cdot x^2+3x+1\\\\ &f{\, }'(x)=3x^2+2k\cdot x+3\\\\ \textup{ekstrema:}&3x^2+2k\cdot x+3=0\\\\ &x=\left\{\begin{matrix} \frac{-k-\sqrt{k^2-9}}{3}\\\\\frac{-k+\sqrt{k^2-9}}{3} \end{matrix}\right. \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #4
30. september kl. 22:41 af mathon

\small \begin{array}{lllll} b)&f(x)=x^3+k\cdot x^2+3x+1\\\\ &f{\, }'(x)=3x^2+2k\cdot x+3\\\\ \textup{ekstrema:}&3x^2+2k\cdot x+3=0\\\\ &x=\left\{\begin{matrix} \frac{-k-\sqrt{k^2-9}}{3}\\\\\frac{-k+\sqrt{k^2-9}}{3} \end{matrix}\right. \\\\ \textup{dvs}\\&k<-3\quad\wedge \quad a<f\left ( \frac{-k-\sqrt{k^2-9}}{3} \right )\\\\ &k>3\quad\wedge \quad a>f\left ( \frac{-k+\sqrt{k^2-9}}{3} \right ) \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #5
30. september kl. 23:58 af ringstedLC

b) 

\begin{align*} f(x) &= a\;,\;a\in \mathbb{R}\text{ har en l\o sning}\Rightarrow f\text{ er monoton}\Downarrow \\ f'(x) &\geq 0\Updownarrow \\ 3x^2+2kx+3 &\geq 0\Updownarrow \\ d:4k^2-36 &\leq 0\Updownarrow \,\Rightarrow \text{ ingen lokale ekstrema}\\ k^2 &\leq 9\Updownarrow \\ -3&\leq k\leq 3 \end{align*}


Svar #6
01. oktober kl. 08:46 af lenemoller

Hvorfor er det, at man skal finde f'(x) og sætte det lig med 0? 


Brugbart svar (0)

Svar #7
01. oktober kl. 10:14 af mathon

Fordi lokale ekstrema bestemmes
af
                \small f{\, }'(x)=0


Brugbart svar (1)

Svar #8
01. oktober kl. 11:04 af Bibo53

#6 Du skal ikke sætte f'(x)=0. For at løse opgaven skal du gøre som følger:

1) Gør rede for, at hvis der fandtes x_0f'(x)<0 i en omegn på den ene side af x_0 og f'(x)>0 i en omegn på den anden side af x_0 så ville f have et lokalt ekstremum i x_0, og så ville der findes x_1<x_0 og x_2>x_0f(x_1)=f(x_2). Dermed ville ligningen f(x)=a have mere end en løsning for a=f(x_1)=f(x_2).

2) Slut heraf, at hvis ligningen f(x)=a har højst én løsning for alle a , så gælder der enten f'(x)\le 0 for alle x eller f'(x)\ge 0 for alle x.

3) Vis at diskriminanten d for andengradspolynomiet f' i givet fald opfylder d\le 0.

4) Vis at dette kommer ud på, at 4k^2-36\le 0 og løs denne ulighed. Svaret kan ses i #5.


Skriv et svar til: Bestem de værdier af k, så ligningen f (x)=a har højst én løsning for alle værdier af tallet a.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.