Matematik

Bøvlet optimeringsopgave

10. oktober 2019 af Euroman28 - Niveau: B-niveau

Jeg har fundet denne opgave i en matematik B bog. Man skal finde de værdier for længde og bredde af rektangel delen, som giver det største areal, hvis omkredsen af hele grunden er 8 m.

Mit løsningsforslag :

2*l + b + pi * (b/2) = 8 - > l = 4- 9b/7 dette indsætter jeg så i en funktion for arealet af rektangulære del.

f(b) = l *b - > f(b) = l (4- 9b/7) = 4l - 9b^2/7 , det differentiere jeg og løser f'(b) =0 og finder b = 1.55 og indsætter dette i udtrykket for l, og dette giver l = 2.

Men i facitlisten står der at l = 1.86 og b = 1.66. Så mit spørgsmål, er der der fejl i facitlisten? eller i mine udregninger? :)

Vedhæftet fil: flower.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. oktober 2019 af MatHFlærer

Lad mig lige prøve at regne den igennem også.

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. oktober 2019 af swpply (Slettet)

Husk at du skal bestemme længden l og breden b, således at arealet af blomsterbedet (og ikke blot rektanglet) bliver størst mulig. Med andre ord, du skal altså finde maksimum for funktionen givet ved forskriften l*b + 0.5*pi*(0.5*b)^2.

Med undtagelse af dette, er din fremgangsmetode god.

Knæk og bræk :-)

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. oktober 2019 af MatHFlærer

Jeg er enig i din fremgangsmetode.

Svar #4
10. oktober 2019 af Euroman28

Mange tak for svaret begge 2, Men er Vi så enige om facitlisten fra bogen er forkert ? Således at resultat af siderne er 1.55 og 2 ?

- - -

Der er Matematik i alt.

Brugbart svar (1)

Svar #5
10. oktober 2019 af MatHFlærer

#4
Mange tak for svaret begge 2, Men er Vi så enige om facitlisten fra bogen er forkert ? Således at resultat af siderne er 1.55 og 2 ?

Ja.

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. oktober 2019 af agogo

Hej

Jeg har regnet opgaven igennem 3 gange og fået et nyt resultat hver gang:)

Men her er mit bud på den rigtige løsning:

f(b) = (4- 9b/7)*b + 0.5*(22/7)*(0.5*b)^2 = 4b - 25b^2/28 , som ganske rigtigt differentieres

Jeg sætter f'(b) = 0 og finder b = 2.24 og indsætter dette i udtrykket for l, og dette giver l = 1.12.

Arealet bliver 4.48 - min løsning for l og b er heller ikke den samme som nævnes fra facitlisten (???), og facitlistens løsning giver et areal på 4.17 dvs. et mindre areal.

Brugbart svar (0)

Svar #7
11. oktober 2019 af ringstedLC

#0
Jeg har fundet denne opgave i en matematik B bog. Man skal finde de værdier for længde og bredde af rektangel delen, som giver det største areal, hvis omkredsen af hele grunden er 8 m.

Mit løsningsforslag :

2*l + b + pi * (b/2) = 8 - > l = 4- 9b/7 dette indsætter jeg så i en funktion for arealet af rektangulære del.

f(b) = l *b - > f(b) = l (4- 9b/7) = 4l - 9b^2/7 , det differentiere jeg og løser f'(b) =0 og finder b = 1.55 og indsætter dette i udtrykket for l, og dette giver l = 2.

Men i facitlisten står der at l = 1.86 og b = 1.66. Så mit spørgsmål, er der der fejl i facitlisten? eller i mine udregninger? :)

Begge steder, eller også har du læst forkert.

$\begin{align*} Omk=8 &= 2l+b+\tfrac{b\pi}{2} \\ l &= -\tfrac{1}{4}b\pi-\tfrac{1}{2}b+4 \\ Areal(b) &= b\cdot l+\tfrac{\pi\cdot \left (\tfrac{b}{2}\right )^2}{2} \\ &= -\tfrac{1}{8}b^2\pi-\tfrac{1}{2}b^2+4b \\ Areal'(b)=0 &= -\tfrac{1}{4}b\pi-\tfrac{1}{2}b^2+4b \\ b &=\tfrac{16}{\pi+4}\approx 2.24\text{ m} \\ l &=\tfrac{8}{\pi+4}\approx 1.12\text{ m} \\ \text{PS.}\;\pi &= \pi\neq\tfrac{22}{7} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
12. oktober 2019 af agogo

22/7 - Pi = 0,00126448926734961868021375957764?

Brugbart svar (0)

Svar #9
12. oktober 2019 af ringstedLC

#7, rettelse:

$\begin{align*} Areal(b) &= -\tfrac{1}{8}b^2\pi-\tfrac{1}{2}b^2+4b \\ Areal'(b)=0 &= -\tfrac{1}{4}b\pi-b+4 \\ \end{align*}$

#8: Meningen var blot at pointere, at brugen af "π" på lommeregner eller i CAS er mere praktisk.

Skriv et svar til: Bøvlet optimeringsopgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.