Matematik

Logiske ækvivalente udsagn

10. oktober kl. 17:29 af anonym000 - Niveau: Universitet/Videregående

Opgaveformuleringen:

Lad p(x) og q(x) være prædikater om elementerne i en mængde M.

Er følgende udsagn logisk ækvivalente?

\begin{array}{l}{\text { (a) } \forall x \in M: p(x) \wedge q(x) \text { og }(\forall x \in M: p(x)) \wedge(\forall x \in M: q(x))} \\ {\text { (b) } \forall x \in M: p(x) \vee q(x) \text { og }(\forall x \in M: p(x)) \vee(\forall x \in M: q(x))} \\ {\text { (c) } \exists x \in M: p(x) \vee q(x) \text { og }(\exists x \in M: p(x)) \vee(\exists x \in M: q(x))} \\ {\text { (d) } \exists x \in M: p(x) \wedge q(x) \text { og }(\exists x \in M: p(x)) \wedge(\exists x \in M: q(x))}\end{array}

Svar

(a) udsagnet til venstre: for at konjuktionen er sand skal x både gør p(x) sand og q(x) sand. De to udsagn er logiske ækvivalente.

(b) Mindst p eller q er sand for alle x. Jeg vil også sige denne er logisk ækvivalent.

(c) Umiddelbart vil jeg også sige at denne er også logisk ækvivalent.

(d) Ved ikke.


Brugbart svar (0)

Svar #1
10. oktober kl. 18:05 af AMelev

(d) er ikke, da det ikke behøver at være samme x  i konjunktionen til højre.
Eks: p(x): x2 =1 og q(x): 2x - 4 = 0 
p(x) ∧ q(x) er falsk for alle x, men p(x) er sand for x = ±1 og q er sand for x = 2, så konjunktionen til højre er sand.


Svar #2
10. oktober kl. 18:17 af anonym000

Okay, tak for det.

- - -

...............


Svar #3
10. oktober kl. 20:38 af anonym000

#1

(d) er ikke, da det ikke behøver at være samme x  i konjunktionen til højre.
Eks: p(x): x2 =1 og q(x): 2x - 4 = 0 
p(x) ∧ q(x) er falsk for alle x, men p(x) er sand for x = ±1 og q er sand for x = 2, så konjunktionen til højre er sand.

Jeg ved faktisk ikke hvordan man finder frem til om de er logiske ækvivalente eller ej. Er der ikke en mere systematisk måde at gøre det på?

- - -

...............


Brugbart svar (1)

Svar #4
11. oktober kl. 00:16 af AMelev

Måske en sandhedstabel på en elller anden form kan bruges?
Jeg prøver at tænke.


Svar #5
11. oktober kl. 00:29 af anonym000

Det lyder som en god ide. Selv kan jeg dog kun lave sandhedstabeller for simple sammensatte udsagn som 

(p \vee \neg q) \wedge(\neg p \vee q)

- - -

...............


Svar #6
11. oktober kl. 17:20 af anonym000

Jeg er faktisk ikke helst sikker på hvordan man skal læse de fire par af udsagn (?).

(a) Jeg læser som følgende: Alle x i M som gør både p(x) og q(x), og dermed konjunktionen sand. Hvis dette er korrekt, så har jeg svært ved at skelne mellem dette og mængdebyggeren {x i M: p(x) og q(x) }?

- - -

...............


Skriv et svar til: Logiske ækvivalente udsagn

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.