Matematik
(n er en potens af 2) ⇔ ¬(n har andre ulige divisorer end ± 1)
Hej
Bevis følgende ækvivalens: om naturlige tal n>1:
(n er en potens af 2) ⇔ ¬(n har andre ulige divisorer end ± 1)
At n er en potens af 2 skal betyde: ∃k ∈ N: n = 2k.
=>:
Jeg tror at denne implikation vises lettest via Aritmetikkens fundamentalsætning. Jeg skal bare have formuleret mig tilstrækkeligt, kortfattet og ikke mindst korrekt.
Hvis n er en potens af 2 er dens primtalsopløsning entydigt bestemt (if. Aritmetikkens fundamentalsætning) n=2·..·2. Faktorerne er 2^p, 1≤p≤k... Her går jeg så lidt i stå :-)
Bogen som jeg bruger er: http://web.math.ku.dk/noter/filer/dis2019.pdf. Aritmetikkens fundamentalsætning står på s. 46 (sætning 145).
På forhånd tak
Svar #1
12. oktober 2019 af LeonhardEuler
Antag at der gik et ulige tal m op i n, men det vil give modstrid med at n = 2^k.
For venstre implikation: Antag at n ikke har andre ulige divisorer end +/-1. Husk nu at alle primtal undtagen 2 er ulige. Vi kan nu primtalopløse n og dermed let se, at n kan kun bestå af produkter af 2.
Svar #2
12. oktober 2019 af anonym000
Virker det ikke lidt unødvendigt at klemme et modstridsbevis i =>?
...............
Svar #3
12. oktober 2019 af anonym000
Jeg har gjort sådan i =>:
Ifølge aritmetikkens fundamental sætning har n primtalsopløsningen n=2·...·2 med primdivisorene 2.
Bevis ved modstrid antag at der findes et ulige tal m≠±1 som går op i n.
Dette giver en modstrid da aritmetikkens fundamentalsætning siger at primtalsopløsningen af n er entydig og primtaldivisorene er 2.
Der er altså ikke andre ulige divisor end de trivielle: ±1.
...............
Skriv et svar til: (n er en potens af 2) ⇔ ¬(n har andre ulige divisorer end ± 1)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.