Matematik

Foreningsmængden af familiens mængde, Eksempel 215 i JL

18. oktober kl. 15:24 af anonym000 - Niveau: Universitet/Videregående

I eksemplet bliver der givet et bevis for 

\bigcup_{n=1}^{\infty} \left[0,1-\frac{1}{n}\right] =[0,1]

Jeg forstår ikke den metode som bruges i beviset til at vise "<=".

Jeg forstår ikke hvordan man fra x < 1 går til x < 1 - 1/n.

Et billede af metoden er vedhæftet. 


Brugbart svar (1)

Svar #1
18. oktober kl. 15:42 af JohnDoe1990

Eftersom 0<1-x er positivt findes der pr. den arkimediske egenskab (se indekset i din bog) et naturligt tal n sådan at 1/n < 1-x. Hvilket vil sige at x < 1-1/n

:-)


Brugbart svar (1)

Svar #2
18. oktober kl. 15:43 af JohnDoe1990

I min version af bogen er det sætning 738. :-)


Brugbart svar (1)

Svar #3
18. oktober kl. 15:51 af JohnDoe1990

... I øvrigt bliver det jo forklaret i bemærkningen efter eksemplet i din bog.


Svar #4
18. oktober kl. 15:59 af anonym000

#1

Eftersom 0<1-x er positivt findes der pr. den arkimediske egenskab (se indekset i din bog) et naturligt tal n sådan at 1/n < 1-x. Hvilket vil sige at x < 1-1/n

:-)

Det er sætning 764 i min bog.

Men der står der 

\forall a \in \mathbb{R} \exists n \in \mathbb{N}: a<n

Hvordan er du kommet fra til at a i mit tilfælde er 1/1-x?

Jeg forstår det ikke :-/

- - -

...............


Brugbart svar (1)

Svar #5
18. oktober kl. 16:16 af JohnDoe1990

\frac{1}{1-x} < n \Leftrightarrow 1-x > \frac{1}{n} \Leftrightarrow x < 1-\frac{1}{n}

Har du set bemærkningen efter eksemplet i din bog? Det hele er forklaret her. :-)


Svar #6
18. oktober kl. 16:26 af anonym000

Jeg har læst bemærkningen.

Hvad er der galt i at starte fra x < 1- 1/n?

Det havde jeg gjort. For at vise at sådan et n eksisterer så havde jeg gåt til 1/1-x < n og havde henvist til den arkimediske egenskab.

Jeg mangler så bare at forklare hvorfor x < 1 medfører x < 1-1/n.

- - -

...............


Brugbart svar (1)

Svar #7
18. oktober kl. 16:40 af JohnDoe1990

Der er overhovedet ikke noget galt i at starte fra x<1-1/n, isolere n, og dernæst henvise til den arkimediske egenskab for at retfærdiggøre, at der eksisterer et naturligt tal n som opfylder denne ulighed.


Svar #8
18. oktober kl. 16:44 af anonym000

Okay. Er x <1 ens betydende med x < 1-1/n?

Jeg skal vise at når x < 1, så er x < 1-1/n.

- - -

...............


Brugbart svar (1)

Svar #9
18. oktober kl. 16:46 af JohnDoe1990

I mit første indlæg startede jeg med 0<1-x ved at benytte sætning 738 i denne version af bogen fordi jeg troede at det var det som JL gjorde. Men man kan også sagtens gøre som dig hvor man isolerer n i x<1-1/n, og derefter benytter sætning 737 i samme version af bogen, altså den arkimediske egenskab. :-)

Håber det giver mere mening nu.


Brugbart svar (1)

Svar #10
18. oktober kl. 16:51 af JohnDoe1990

#8

Okay. Er x <1 ens betydende med x < 1-1/n?

Jeg skal vise at når x < 1, så er x < 1-1/n.

Hmm. Ensbetydende? Du kan antage at x<1, hvilket er ensbetydende med 0<1-x, hvilket MEDFØRER pr. sætning 738 (i ovenstående version) at der findes et naturligt tal n sådan at 1/n<1-x, hvilket er ensbetydende med x<1-1/n. Mao. har du ikke biimplikationer hele vejen, men det behøver du heller ikke.


Svar #11
18. oktober kl. 17:20 af anonym000

Okay. 

Krræver det ikke en kommentar at hvis man antager x <1 , så får man også x < 1-1/n ?

- - -

...............


Brugbart svar (1)

Svar #12
18. oktober kl. 17:27 af JohnDoe1990

Jo, det gør det. Det kræver faktisk mere end en kommentar, det kræver et bevis. Et sådan bevis finder du i mit forrige indlæg.


Svar #13
18. oktober kl. 17:32 af anonym000

Tak, nu er jeg med!!!!!! :-)

Tak for din tid.

Jo dummere spørgsmål man stiller, jo klogere bliver man.

- - -

...............


Svar #14
18. oktober kl. 18:45 af anonym000

Er der alternative løsninger for "<="?

- - -

...............


Skriv et svar til: Foreningsmængden af familiens mængde, Eksempel 215 i JL

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.