Matematik

Integration

24. november 2019 af Lapendio - Niveau: Universitet/Videregående

Nogen der kan hjælpe mig med disse opgaver?

Det er både a og b jeg har problemer med, da jeg ikke har arbejdet så meget med integration.

Vedhæftet fil: Integration.PNG

Brugbart svar (1)

Svar #1
24. november 2019 af mathon

Svar #2
24. november 2019 af Lapendio

Og for c) ved jeg ærligt ikke hvad jeg skal gøre, så kunne godt bruge nogen råd til den også

Brugbart svar (1)

Svar #3
24. november 2019 af mathon

$\small \begin{array}{llll} c)&&\int 2x\left (x^5-6x^3+2x^{-1}\left ( 2^x-\ln(x^2) \right ) \right )\mathrm{d}x\\\\ &&\int \left (2x^6-12x^4+4\left ( 2^x-2\ln(x) \right ) \right )\mathrm{d}x\\\\ &&\int \left (2x^6-12x^4+4\cdot 2^x-8\ln(x) \right )\mathrm{d}x\textup{ ...} \end{array}$

Svar #4
24. november 2019 af Lapendio

Godaften mathon

Til a) får jeg

For u = 1 + x , du/dx = 1 har jeg

$\int_{0}^{1}x*u^3=\int_{0}^{1}x *\frac{1}{4}u^4-\int_{0}^{1}1*\frac{1}{4}u^4du$

$\int_{0}^{1}\frac{x}{4}(1+x)^4dx-\int_{0}^{1}\frac{1}{4}*(1+x)^4dx$

Også beregner jeg integralerne med grænserne 0 og 1 ?

Brugbart svar (1)

Svar #5
24. november 2019 af mathon

$\small \small \begin{array}{llll} a)&&\int_{0}^{1} x\left (1+x\right )^3 \mathrm{d}x\\\\ &&\textup{s\ae t }u=1+x\textup{ og dermed }\mathrm{d}u=\mathrm{d}x\textup{ og }\textup{gr\ae nseskift }\begin{matrix} 1\\0 \end{matrix}\rightarrow \begin{matrix} 2\\ 1 \end{matrix}\\\\ &&\int_{0}^{1} x\left (1+x\right )^3 \mathrm{d}x=\int_{1}^{2} (u-1)\cdot u^3 \mathrm{d}u=\int_{1}^{2}\left ( u^4-u^3 \right )\mathrm{d}u=\left [\frac{1}{5}u^5 -\frac{1}{4}u^4 \right ]_{1}^{2}=\\\\ &&\frac{1}{5}\cdot 2^5 -\frac{1}{4}\cdot 2^4-\left ( \frac{1}{5}\cdot 1^5 -\frac{1}{4}\cdot 1^4 \right )=\frac{32}{5}-4-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}=\frac{31}{5}-\frac{15}{4}=\frac{124-75}{20}=\frac{49}{20}=24.5 \end{array}$

Svar #6
24. november 2019 af Lapendio

What, cool

Må man godt lave grænseskift? hvorfor?

Og hvor kommer det u - 1 fra?

Brugbart svar (1)

Svar #7
24. november 2019 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llll} b)&&\int\frac{ f(x)}{g(x)} \mathrm{d}x=\int\frac{ (x+1)^2}{3(x+1)} \mathrm{d}x\qquad x\neq-1\\\\ &&\frac{1}{3}\int(x+1)\, \mathrm{d}x=\frac{1}{3}\cdot \left ( \frac{1}{2}x^2+x+k_1 \right )=\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{3}x+k \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #8
24. november 2019 af mathon

#6
$\small u=1+x\Leftrightarrow x=u-1$

Brugbart svar (1)

Svar #9
24. november 2019 af mathon

korrektion af tastefejl:

$\small \small \small \small \begin{array}{llll} a)&&\int_{0}^{1} x\left (1+x\right )^3 \mathrm{d}x\\\\ &&\textup{s\ae t }u=1+x\textup{ og dermed }\mathrm{d}u=\mathrm{d}x\textup{ og }\textup{gr\ae nseskift }\begin{matrix} 1\\0 \end{matrix}\rightarrow \begin{matrix} 2\\ 1 \end{matrix}\\\\ &&\int_{0}^{1} x\left (1+x\right )^3 \mathrm{d}x=\int_{1}^{2} (u-1)\cdot u^3 \mathrm{d}u=\int_{1}^{2}\left ( u^4-u^3 \right )\mathrm{d}u=\left [\frac{1}{5}u^5 -\frac{1}{4}u^4 \right ]_{1}^{2}=\\\\ &&\frac{1}{5}\cdot 2^5 -\frac{1}{4}\cdot 2^4-\left ( \frac{1}{5}\cdot 1^5 -\frac{1}{4}\cdot 1^4 \right )=\frac{32}{5}-4-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}=\frac{31}{5}-\frac{15}{4}=\frac{124-75}{20}=\frac{49}{20}=2{\color{Red} .}45 \end{array}$

Svar #10
24. november 2019 af Lapendio

Hej mathon, er nødt til at øve mere integration med substituion og integration by parts, for at forstå det, så jeg kommer tilbage igen, men værdsætter din hjælp hidtil. Vi er lige begyndt med integration.

Men hvorfor kan du lave grænseskift 0 1 til 2 1, jeg mener hvorfor er det tilladt ?

Brugbart svar (1)

Svar #11
25. november 2019 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llll} a)&\textup{\textbf{Uden} substitution:}\\\\&&\int_{0}^{1} x\left (1+x\right )^3 \mathrm{d}x\\\\ &&\int_{0}^{1}\left (x\cdot \left ( 1^3+3\cdot 1^2\cdot x+3\cdot 1\cdot x^2+x^3 \right ) \right ) \mathrm{d}x\\\\ &&\int_{0}^{1}\left (x+3x^2+3x^3+x^4\right) \mathrm{d}x=\\\\ &&\left [ \frac{1}{2}x^2+x^3+\frac{3}{4}x^4+\frac{1}{5}x^5 \right ]_{0}^{1}=\\\\ &&\frac{1}{2}\cdot 1^2+1^3+\frac{3}{4}\cdot 1^4+\frac{1}{5}\cdot 1^5-0=\\\\ &&\frac{1}{2}+1+\frac{3}{4}+\frac{1}{5}=\\\\ &&\frac{10+20+15+4}{20}=\frac{1}{20}=\frac{49}{20}=2.45 \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #12
25. november 2019 af mathon

Integration med substitution:

Alment:
   Når $F$ er en stamfunktion til $f$
haves:
   $\small \left (F(g(x)) \right ){\, }'=F{\, }'(g(x))\cdot g{\, }'(x)=f(g(x))\cdot g{\, }'(x)$
hvorfor
   $\small \int f(g(x))g{\, }'(x)\, \mathrm{d}x=F(g(x))+k$

og det bestemte integral

$\small \int_{a}^{b} f(g(x))g{\, }'(x)\, \mathrm{d}x=F(g(b))-F(g(a))=F(\beta)-F(\alpha)=$

$\small \small \int_{\alpha =g(a)}^{\beta =g(b)}f(u)\, \mathrm{d}u\qquad \textup{ hvor }u=g(x)\textup{ og }\mathrm{d}u=g{\, }'(x)\mathrm{d}x\quad \textup{ samt }\begin{matrix} b\\a \end{matrix}\rightarrow \begin{matrix} \beta \\ \alpha \end{matrix}$

Svar #13
25. november 2019 af Lapendio

#11 var også sådan jeg formåede at løse den i sidste ende

Tak for hjælpen mathon og tak for #12 ligeledes, da det giver mere meining nu faktisk. Men vender tilbage igen når jeg øver noget mere integration.

Skriv et svar til: Integration

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.