Matematik

Differentialligning

02. december 2019 af Lei20 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hjælp til denne opgave

En funktion f er løsning til differentialligningen y’ = 3 - a * y

Hvor a er en konstant

Det oplyses at (0, 2; -1) er et linjeelement for differentialligningen

a) bestem a

b) bestem en forskrift for f

Kan det passe at a = -1 og f bliver: y= -3 + 5 * e^x

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. december 2019 af mathon

$\small \begin{array}{llll} a)&&y{\, }'=3-a\cdot y\\\\ &\textup{linjeelementet }(0,2;-1)\\\\ &\textup{giver:}&-1=3-a\cdot 2\\\\ &&2a=4\\\\ &&a=2\\\\\\\\ b)&&f(x)=Ce^{-2x}+\frac{3}{2}\\\\ &\textup{linjeelementet }(0,2;-1)\\\\ &\textup{giver:}&2=C\cdot e^{-2\cdot 0}+\frac{3}{2}\\\\ &&2=C+\frac{3}{2}\\\\ &&C=\frac{4}{2}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\\\\ &&\mathbf{{\color{Red} f(x)=\frac{1}{2}e^{-2x}}} \end{array}$

Svar #2
02. december 2019 af Lei20 (Slettet)

Kan du også hjælpe mig med denne opgave:

Udviklingen i den danske skarvbestand kan beskrives ved modellen

1/N * dN/st = 0,24 - 0,013 * t

hvor N betegner skarvbestanden, målt i antal individer og t betegner antal år efter 1980.

Det oplyses at der i 1992 var 156000 skarver i Danmark

a) bestem en forskrift for N

Ikke sikker men fik det til y = 22328,324 * e^-0,0065*t^2 + 0,24 * x

b) bestem det største antal skarver i Danmark ifølge modellen

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. december 2019 af mathon

smutter:

$\small \small \begin{array}{llll} &&\mathbf{{\color{Red} f(x)=\frac{1}{2}e^{-2x}+\frac{3}{2}}} \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
02. december 2019 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} a)&&\frac{1}{N}\cdot \frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}=0.24-0.016\cdot t\\\\ &\textup{de variable separeres}\\\\ &&\frac{1}{N}\, \mathrm{d} N=\left (0.24-0.016 \right )\mathrm{d} t\\\\ &\textup{der integreres:}&\int\frac{1}{N}\, \mathrm{d} N=\int\left (0.24-0.016 \right )\mathrm{d} t\\\\ &&\ln(N)=0.24t-0.008\cdot t^2+k\\\\ &&N(t)=N_0\cdot e^{0.24t-0.0008t^2}\\\\ &&N(12)=N_0\cdot e^{0.24\cdot 12-0.0008\cdot12^2}=156000\\\\ &&N_0\cdot e^{2.7648}=156000\\\\ &&N_0=\frac{156000}{e^{2,7648}}=9826\\\\ &&N(t)=9826\cdot e^{0.24t-0.0008t^2} \end{array}$

Brugbart svar (2)

Svar #5
02. december 2019 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll} b)&\textup{maksimalt antal}\\ &\textup{kr\ae ver bl.a.}&\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}=N(t)\cdot \left ( 0.24-0.013\cdot t \right )=0\\\\ &&N(t)>0\\\\ &\textup{hvorfor}& 0.24-0.013\cdot t=0\\\\ &&t=18.5\\\\ &\textup{maksimalt antal i \aa rstallet:}&1980+18.5=1999 \end{array}$

Svar #6
03. december 2019 af Lei20 (Slettet)

Jeg har beregnet vha. mit CAS-værktøj og får forskriften til N=22328,324·e^(-0,0065·t^2+0,24·t)

Jeg tror, at du kom til at lave en tastefejl. Du skrev 0,016 i #4, når det skulle være 0,013. Men mange tak for din forklaring på, hvordan man lave opgaven uden CAS :-)

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. december 2019 af mathon

Ja - du har ret.

Skriv et svar til: Differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.