Matematik

Planintegral

16. december 2019 af Hej15 - Niveau: Universitet/Videregående

D er området: D= {(x,y)∈R^2: x^2+y^2≤16,  0≤y≤x}

Planintegralet ∫∫_D (x^2+y^2)^2 dA ønskes beregnet. 

Lad m være det største tal som kan være første koordinat x for et punkt (x,y) i D. 

Hvad er m lig med? 

Jeg er lidt forvirret over, hvad der egentlig bliver bedt om. Er det ift. x^2 +y^2 =16, hvor x skal være så højt som muligt, og så kan det være 4? 


Brugbart svar (0)

Svar #1
16. december 2019 af mathon

               \small \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{4}r^2\cdot r\cdot \mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta =\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{4}r^3\, \mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta=64\cdot \int_{0}^{2\pi } \mathrm{d}\theta =64\cdot 2\pi =128\pi


Brugbart svar (1)

Svar #2
16. december 2019 af AMelev

Som jeg læser det, så ja.

PS! Ret lige din profil, så uddannelse og niveau harmonerer.


Brugbart svar (1)

Svar #3
16. december 2019 af chyvak

Planintegralet ser umiddelbart forkert ud. Mængden D er en ottendedel af cirklen med centrum i (0,0) og radius 4 - den del, der ligger under eller på linien med ligningen y=x og over eller på x-aksen. Men m = 4 må derfor være korrekt.


Brugbart svar (2)

Svar #4
16. december 2019 af mathon

korrektion:

               \small \small \int_{0}^{\frac{\pi}{4} }\int_{0}^{4}r^2\cdot r\cdot \mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta =\int_{0}^{\frac{\pi}{4} }\int_{0}^{4}r^3\, \mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta=64\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{d}\theta =64\cdot \tfrac{\pi}{4} =16\pi


Svar #5
16. december 2019 af Hej15

Mange tak for hjælpen! 


Brugbart svar (0)

Svar #6
16. december 2019 af Eksperimentalfysikeren

x skal ikke være så højt som muligt.

Funktionen inde i integrationstegnet er f(x,y) = x2+y2.

Grafisk er der tale om en paraboloide med toppunkt i (0,0,0).

Det område, der kaldes D er begrænset i x-y-planen af cirklen med radius 4 og centrum i (0,0,0), af x-aksen (fordi 0≤y) og af linien y=x (fordi y≤x). Dette er et cirkeludsnit, der er en ottendedel af cirklen. f kan angives i polære koordinater: f(r,θ) = r2 og D = { (r,θ)| 0≤r≤4 ∧ 0≤θ≤π/4}

Det er denne omregning, der ligger til grund for udregningen i #4.


Skriv et svar til: Planintegral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.