Matematik

Linje skæring med cirkel

22. december 2019 af AnneSoffia - Niveau: A-niveau

Sidder lidt fast i følgende opgave:

Undersøg om linjen med ligningen 4x + 3y - 19 = 0 er tangent til cirkel med ligningen (x + 3)² + (y - 2)² = 25

Centrum af cirklen er -3,2 og dernæst har jeg udregnet radius fra dette punkt til 4x + 3y - 19 = 0:

$dist(P,l)=\frac{\left | 4*(-3)+3*2-19 \right |}{\sqrt{4^2+3^2}}=5$

Dermed er radius fra punkt til linjen 5, men hvordan ved jeg om dette passer med cirklen?

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. december 2019 af Anders521

# 0 At radius er 5 udledes ikke fra din beregning, men er den er givet på forhånd fra cirklens ligning.

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. december 2019 af AMelev

Cirklens ligning: (x + 3)² + (y - 2)² = 25
Centrum C = (-3,2) og radius r = √25 = 5
Afstand fra centrum til linje er $dist(P,l)=\frac{\left | 4*(-3)+3*2-19 \right |}{\sqrt{4^2+3^2}}=5$ = radius i cirklen, så l er tangent til cirklen.

Brugbart svar (0)

Svar #3
23. december 2019 af mathon

Alternativt:

Hvis - og kun hvis - linjen med ligningen $y=-\tfrac{4}{3}x+\tfrac{19}{3}$ er tangent til cirklen $\left (x+3 \right )^2+(y-2)^2=25$
er der netop ét skæringspunkt, hvilket undersøges om er tilfældet:

$\small \small \begin{array}{llll} &&\left (x+3 \right )^2+\left(-\frac{4}{3}x+\frac{19}{3}-2\right)^2=25\\\\ &&\left (x+3 \right )^2+\left(-\frac{4}{3}x+\frac{13}{3}\right)^2=25\\\\ &&x^2+6x+9+\frac{16}{9}x^2-\frac{104}{9}x+\frac{169}{9}=25\\\\ &&9x^2+54x+81+16x^2-104x+169=225\\\\&&25x^2-50x+25=0\\\\ &&x^2-2x+1=0\\\\ &&(x-1)^2=0\qquad \textup{som \textbf{netop} har }\mathrm{\acute{e}}\textup{n l\o sning}\\\textup{dvs}\\&\textbf{netop }\mathrm{\acute{e}}\textup{t sk\ae ringspunkt.} \end{array}$

Skriv et svar til: Linje skæring med cirkel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.