Matematik

Bestem koordinatsættene til hvert af de punkter på banekurven for s(t)....

04. januar 2020 af need4helplol (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har vedhæftet opgaven, som jeg har svært ved. Sætter pris på enhver hjælp. Tak på forhånd.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2020-01-04 kl. 22.36.34.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. januar 2020 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. januar 2020 af peter lind

Brug afstandsformlen i din formelsamling side 14 formel 72 og indsæt x(t) og y(t)

a) sæt dist(P, l) = 6 og løs den derved fremkomne ligning

b) Find minimum for afstandsfunktionen

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. januar 2020 af ringstedLC

Vedhæftet fil:A_M_082 - Banekurve og linjeafst._need4helplol.png

Brugbart svar (0)

Svar #4
05. januar 2020 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{lllll}a) &\overrightarrow{s}(t)=\begin{pmatrix} 2+4\sin(t)\\1+2\cos(t) \end{pmatrix}\qquad t\in\left [ 0;2\pi \right ]\\\\&\textup{dist(P,l)}=\frac{2+4\sin(t)+2(1+2\cos(t))-16}{\sqrt{1^2+2^2}}=\mp 6\\\\&4(\sin(t)+\cos(t))-3=\mp 6\sqrt{5}\\\\&\sin(t)+\cos(t)=\left\{\begin{array}{lll}3-\frac{3}{2}\sqrt{5}\\\\3+\frac{3}{2}\sqrt{5}&\textup{som m\aa \ forkastes} \end{array} \right.\\\\&\sin(t)+\cos(t)=3-\frac{3}{2}\sqrt{5}\\\\&(\sin(t)+\cos(t))^2=\left (3-\frac{3}{2}\sqrt{5} \right )^2\\\\&\sin^2(t)+\cos^2(t)+2\sin(t)\cos(t)=0.125388\\\\&1+\sin(2t)=0.125388\\\\&\sin(2t)=-0.874612\qquad t\in\left [ 0;2\pi \right ]\\\\&\sin(2t-2\pi )=\sin(\pi -2t)=-0.874612\\\\&2t-2\pi =\sin^{-1}\left (-0.874612 \right )=-1.06463\\\\&t=\frac{-1.06463+2\pi }{2}\\\\&\mathbf{{\color{Red} t_2=2.60928}}\\\\&\pi -2t=-1.06463\\\\&2t=\pi +1.06463=4.20622\\\\&\mathbf{{\color{Red} t_1=2.10311}} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. januar 2020 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{lllll} &\overrightarrow{s}(t_1)=\begin{pmatrix} x(t_1)\\y(t_1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+4\sin(t)\\1+2\cos(t) \end{pmatrix}\qquad t\in\left [ 0;2\pi \right ]\\\\&\mathbf{{\color{Red} t_2=2.60928}}\\\\&\mathbf{{\color{Red} t_1=2.10311}} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
05. januar 2020 af mathon

$\small \small \small \small \begin{array}{lllll} &\overrightarrow{s}(t_1)=\begin{pmatrix} x(t_1)\\y(t_1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+4\sin(2.10311)\\1+2\cos(2.10311) \end{pmatrix}\\\\&\overrightarrow{s}(2.10311)=\begin{pmatrix} 5.44654\\-0.015056\end{pmatrix}\\\\&\overrightarrow{s}(t_2)=\begin{pmatrix} x(t_2)\\y(t_2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+4\sin(2.60928)\\1+2\cos(2.60928) \end{pmatrix}\\\\&\overrightarrow{s}(2.60928) =\begin{pmatrix} 4.03011\\-0.723271 \end{pmatrix} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
05. januar 2020 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll} b)&\textup{mindste afstand}\\&\textup{til linjen kr\ae ver bl.a.}&\left (\textup{dist(P,l)}(t) \right ){ }'=\left (\frac{4}{\sqrt{5}} \cdot \left (\sin(t)+\cos(t)-3 \right ) \right ){}'=0\\\\\\&&\frac{4}{\sqrt{5}}\left ( \cos(t)-\sin(t) \right )=0\\\\&&\cos(t)-\sin(t) =0\\\\&&\sin(t)=\cos(t)\qquad t\neq \frac{\pi }{2}\\\\&&\tan(t)=\tan(t-\pi )=1\\\\&&t=\tan^{-1}(1)\\\\&&\mathbf{{\color{Red} t=\frac{\pi }{4}}} \\\\&&t-\pi =\frac{\pi }{4}\\\\&&\mathbf{{\color{Red} t=\frac{5\pi }{4}}} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
05. januar 2020 af mathon

$\textup{fortegnsvariation}$
$\textup{for }\cos(t)-\sin(t)\textup{:}$ + 0 - 0 +
   ___________ $\tfrac{\pi }{4}$ ___________ $\tfrac{5\pi }{4}$ ___________
$\textup{monotoni}$    $\small \textup{lok. min}$
$\textup{for }\textup{dist}(P,l)(t)$       $\textup{voksende}$    $\textup{aftagende}$    $\textup{voksende}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. januar 2020 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{lllll} &\textup{banekurvepunkt med }\\&\textup{\textbf{mindste} afstand til linjen:}&\overrightarrow{s}\left(\frac{5\pi }{4}\right)=\begin{pmatrix} 2+4\cdot \sin\left ( \frac{5\pi }{4} \right )\\ 1+2\cdot \cos\left ( \frac{5\pi }{4} \right ) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-2\sqrt{2}\\1-\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
08. januar 2020 af ringstedLC

Det er kun P₂i #3, der er sammenfaldende med punkterne i #6 og #9.

Vedhæftet fil:A_M_082_1 - Banekurve og linjeafst._need4helplol.png

Skriv et svar til: Bestem koordinatsættene til hvert af de punkter på banekurven for s(t)....

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.