Matematik

Falskt eller sandt?

29. januar 2020 af Ganymedes - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Er følgende udsagn falskt eller sandt?

"En kontinuert funktion, f, på et lukket og begrænset interval [a,b] behøver ikke have en maksimumsværdi."

Jeg ville umiddelbart mene, at dette var korrekt. Her tænker jeg specielt på en konstant funktion, som jo intet ekstremumspunkt indeholder ligegyldigt, hvilket interval man kigger på.

På forhånd tak.


Brugbart svar (1)

Svar #1
30. januar 2020 af AMelev

En konstant funktion f(x) = k har max = min = k , og ekstremumspunkterne er alle x i DM(f). 
Er det fordi, du tænker på lokale ekstrema med fortegnsvariationen for f ' som + 0 - eller - 0 +?

Udsgnet er falsk. Værdimængden af en kontinuert funktion på et lukket interval er selv et lukket interval, og dermed har funktionen såvel max som min..


Brugbart svar (1)

Svar #2
30. januar 2020 af Eksperimentalfysikeren

En konstant funktion har en maksimumsværdi, nemlig funktionsværdien.

En kontinuert fuktion på et lukket og begrænset interval har både en maksimumsværdi og en minimumsværdi, så udsaget er falskt.


Brugbart svar (0)

Svar #3
30. januar 2020 af chyvak

Resultatet kan endog almindeliggøres til kontinuerte afbildninger mellem topologiske rum fordi de er kompakthedsbevarende. Hvis f:A->B er en kontinuert afbildning mellem topologiske rum A og B, og C er en kompakt delmængde af A, så er f(C) kompakt i B. Er specielt B legemet R, i hvilket de kompakte mængder netop er de lukkede og begrænsede mængder, så følger at f antager største og mindste værdi i C.


Skriv et svar til: Falskt eller sandt?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.