Matematik

faktorisering af andengradspolynomier

18. februar kl. 20:05 af sophiajulie - Niveau: B-niveau

hej

jeg er ved at skrive sso i matematik polynomier.

jeg leder efter et bevis der beskriver sammenhængen mellem ax2+bx+c og den faktoriserede udgave: 

(x+q)(x+z)a  

jeg forstår altså godt hvordan det fungerer, men jeg kan ikke lige finde et passende bevis. det kunne især være interessant hvis det kunne bevise det med at q*z=c og q+x=b.

jeg håber i kan hjælpe:)

vh julie 


Brugbart svar (0)

Svar #1
18. februar kl. 21:34 af Festino

Har du lært om divisionsalgoritmen for polynomier? Det følger af denne sætning, at hvis f(x) er et polynomium af grad n>0 og x_0 er et tal, så findes der et polynomium g(x) af grad n-1

f(x)=(x-x_0)\cdot g(x)+f(x_0).

Hvis x_0 er en rod i f(x) gælder der specielt

f(x)=(x-x_0)\cdot g(x).

Heraf følger, at et andengradspolynomium med mindst en rod altid kan skrives på formen f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).

Hvis omvendt vi har givet, at f(x)=a(x-x_1)(x-x_2), så får vi ved at gange parenteserne sammen, at

f(x)=a(x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2)=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2.

Det betyder, at vi kan skrive f på formen f(x)=ax^2+bx+c, hvor b=-a(x_1+x_2) og c=ax_1x_2. Hvis a=1, gælder der specielt b=-(x_1+x_2) og c=x_1x_2 samt

f(x)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2.

Da

f(x_1)=a(x_1-x_1)(x_1-x_2)=a\cdot 0\cdot(x_1-x_2)=0,

er x_1 rod i andengradspolynomiet. En analog udregning viser, at det samme gælder for x_2.


Brugbart svar (1)

Svar #2
19. februar kl. 08:33 af mathon

I en reduceret, ordnet og normeret andengradsligning med to rødder x1 og x2

                  \small x^2+bx+c=0

gælder:
                  \small b=-(x_1+x_2)\quad \textup{ og }\quad x_1\cdot x_2=c

Koefficienten til x er lig med røddernes sum med modsat fortegn og røddernes produkt er lig med ligningens sidste led (på venstre side).


Brugbart svar (1)

Svar #3
19. februar kl. 08:48 af mathon

#2 redigeret:

I et reduceret, ordnet og normeret andengradspolynomium med to rødder x1 og x2

                  \small x^2+bx+c

gælder:
                  \small b=-(x_1+x_2)\quad \textup{ og }\quad x_1\cdot x_2=c

Koefficienten til x er lig med røddernes sum med modsat fortegn og røddernes produkt er lig med polynomiets sidste led.


Brugbart svar (1)

Svar #4
19. februar kl. 08:53 af mathon

I et vilkårligt andengradspolynomium med to rødder x1 og x2

\small \small \small \small \begin{array}{lllll}&ax^2+bx+c\quad a\neq0\\\\&a\left ( x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )\\\\\textup{g\ae lder i f\o lge }\#3\\&\frac{b}{a}=-(x_1+x_2)\quad \textup{og}\quad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\\\\\\&a\left ( x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2 \right )\\\\&a(x^2-x_1x-x_2x+x_2 x_1)\\\\&a((x-x_1)x-(x-x_1)x_2)\\\\&a((x-x_1)(x-x_2)) \end{array}

Hvilket er andengradspolynomiets faktorisering.


Brugbart svar (1)

Svar #5
19. februar kl. 09:15 af mathon

Detaljer:
                  \small \small \small \begin{array}{llll}\textup{for }x^2+bx+c&\textup{med r\o dderne }x_1\textup{ og }x_2\\\textup{haves:}\\&x_1=\frac{-b-\sqrt{d}}{2}\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{d}}{2}\\\\\\&x_1+x_2=\frac{-2b}{2}=-b\\\\&b=-(x_1+x_2)\\\textup{med }d=b^2-4c\\&x_1\cdot x_2=\frac{\left (-b-\sqrt{d} \right )\cdot \left ( -b+\sqrt{d} \right )}{4}=\frac{b^2-d}{4}=\frac{b^2-(b^2-4c)}{4}=c \end{array}


Svar #6
19. februar kl. 17:42 af sophiajulie

#4

I et vilkårligt andengradspolynomium med to rødder x1 og x2

\small \small \small \small \begin{array}{lllll}&ax^2+bx+c\quad a\neq0\\\\&a\left ( x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )\\\\\textup{g\ae lder i f\o lge }\#3\\&\frac{b}{a}=-(x_1+x_2)\quad \textup{og}\quad x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\\\\\\&a\left ( x^2-(x_1+x_2)x+x_1\cdot x_2 \right )\\\\&a(x^2-x_1x-x_2x+x_2 x_1)\\\\&a((x-x_1)x-(x-x_1)x_2)\\\\&a((x-x_1)(x-x_2)) \end{array}

Hvilket er andengradspolynomiets faktorisering.

tak for et meget godt svar mathon. jeg er bare ikke helt med på sidste trin, hvor du går fra

a((x-x1)x-(x-x1)x2) til a((x-x1)(x-x2))

ps har du en kilde?

:)


Brugbart svar (0)

Svar #7
19. februar kl. 20:10 af mathon

                             \small \begin{array}{llll}\textup{sidste trin:}&a\left ( (x-x_1)x-(x-x_1)x_2 \right ) \\\textup{Den f\ae lles}\\\textup{faktor }(x-x_1)\\\textup{s\ae ttes uden for }\\\textup{parentes:}&a(x-x_1)(x-x_2) \end{array}              


Brugbart svar (0)

Svar #8
19. februar kl. 20:12 af mathon

Jeg har ingen kilde.


Brugbart svar (0)

Svar #9
19. februar kl. 21:14 af ringstedLC

#6: Eller du kan gå den tunge vej:

\begin{align*} a\left ( (x-x_1)\,x-(x-x_1)\,x_2 \right ) &= \\ a\left ( x^2-x_1x-xx_2-x_1x_2 \right ) &= \\ a\left ( x^2-xx_2-x_1x-x_1x_2 \right ) &= \\ a\left ( \underset{\begin{smallmatrix}\text{1.\,led} &\cdot &\text{1.\,led} \\ \text{Par}_{\,1} & &\text{Par}_{\,2} \end{smallmatrix}}{\underbrace{x^2}} -\underset{\begin{smallmatrix}\text{1.\,led} &\cdot &\text{2.\,led} \\ \text{Par}_{\,1} & &\text{Par}_{\,2} \end{smallmatrix}}{\underbrace{xx_2}} -\underset{\begin{smallmatrix}\text{2.\,led} &\cdot &\text{1.\,led} \\ \text{Par}_{\,1} & &\text{Par}_{\,2} \end{smallmatrix}}{\underbrace{x_1x}} -\underset{\begin{smallmatrix}\text{2.\,led} &\cdot &\text{2.\,led} \\ \text{Par}_{\,1} & &\text{Par}_{\,2} \end{smallmatrix}}{\underbrace{x_1x_2}} \right ) &= \\ a\,\underset{\text{Par}_{\,1}}{\underbrace{\left (x-x_1 \right )}}\; \underset{\text{Par}_{\,2}}{\underbrace{\left ( x-x_2 \right )}} \end{align*}


Skriv et svar til: faktorisering af andengradspolynomier

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.