Matematik

De stationære punkter

28. marts 2020 af K22 - Niveau: A-niveau

I b) finder man de stationære punkter ved at finde de partielle afledede og sætte dem lig 0, dvs. løse to ligninger med to ubekendte. Når jeg løser den numerisk vha. CAS siger den, at der ikke er nogen løsninger og når jeg sætter den på eksakte værdier får jeg rigtig mange løsninger. Jeg har ikke fået at vide, hvilke værdier x og y kan antage. Hvad gør jeg forkert?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2020-03-28 kl. 10.06.47.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. marts 2020 af Anders521

# 0

Gerne vis dine udregninger.

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. marts 2020 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. marts 2020 af Anders521

Vedhæftet fil:PartialDerivatives.png

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. marts 2020 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{lllll}&f_x{\, }'(x,y)=\frac{-y\cdot x^5-y\cdot x^2+y}{(x^2+y^4+1)^2}\\\\&f_y{\, }'(x,y)=\frac{-y\cdot x^5-y\cdot x^2+y}{(x^2+y^4+1)^2}\\\\\\\textup{eventuelle indre}\\\textup{kritiske punkter}\\\textup{kr\ae ver:}\\&\textup{solve}\left ( \left\{\begin{array}{lll} \frac{-y\cdot x^5-y\cdot x^2+y}{(x^2+y^4+1)^2}=0\\&,\left \{ x,y \right \} \\ \frac{-y\cdot x^5-y\cdot x^2+y}{(x^2+y^4+1)^2}=0 \end{array}\right. \right )\\\\&(-\sqrt{2},-1)\quad (-\sqrt{2},1)\quad (0,0)\quad (\sqrt{2},-1)\quad (\sqrt{2},1)\\\\\\& f_{xx}{\, }''(x,y)=\frac{2x\cdot (x^2-3\cdot (y^4+1))\cdot y}{(x^2+y^4+1)^3}\\\\&f_{yy}{\, }''(x,y)=\frac{4y^3\cdot \left (3y^4-5\cdot (x^2+1) \right )\cdot x}{(x^2+y^4+1)^3}\\\\&f_{xy}{\, }''(x,y)=\frac{-\left ( 3 y^8-2y^4\cdot (6x^2-1)+(x^2-1)\cdot (x^2+1) \right )}{(x^2+y^4+1)^3} \end{array}$

Svar #5
28. marts 2020 af K22

#2 Jeg brugte Wordmat. Jeg satte de partielle afledede lig 0 og løste to ligninger med to ubekendte.

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. marts 2020 af mathon

$\small \begin{array}{llll}&f_{xx}{\,}''(-\sqrt{2},-1)=-\frac{\sqrt{2}}{8}<0 \\\\&f_{xx}{\,}''(-\sqrt{2},-1)\cdot f_{yy}{\,}''(-\sqrt{2},-1)-\left(f_{xy}{\,}''(-\sqrt{2},-1) \right )^2=\frac{1}{8}>0\\\textup{dvs}\\&\textup{lokalt maximumspunkt}\\\\\\&f_{xx}{\,}''(-\sqrt{2},1)=\frac{\sqrt{2}}{8}>0 \\\\&f_{xx}{\,}''(-\sqrt{2},1)\cdot f_{yy}{\,}''(-\sqrt{2},1)-\left(f_{xy}{\,}''(-\sqrt{2},1) \right )^2=\frac{1}{8}>0\\\textup{dvs}\\&\textup{lokalt minimumspunkt}\\\\\\\\ &f_{xx}{\,}''(0,0)\cdot f_{yy}{\,}''(0,0)-\left(f_{xy}{\,}''(0,0) \right )^2=-1<0\\\textup{dvs}\\&\textup{saddelpunkt}\\\\\\\\&f_{xx}{\,}''(\sqrt{2},1)\cdot f_{yy}{\,}''(\sqrt{2},1)-\left(f_{xy}{\,}''(\sqrt{2},1) \right )^2=-\frac{\sqrt{2}}{8}<0\\\textup{dvs}\\&\textup{saddelpunkt} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
29. marts 2020 af mathon

$\small \begin{array}{llll}&f_{xx}{\,}''(\sqrt{2},-1)=\frac{\sqrt{2}}{8}>0 \\\\&f_{xx}{\,}''(\sqrt{2},-1)\cdot f_{yy}{\,}''(\sqrt{2},-1)-\left(f_{xy}{\,}''(\sqrt{2},-1) \right )^2=\frac{1}{8}>0\\\textup{dvs}\\&\textup{lokalt minimumspunkt} \end{array}$

Svar #8
29. marts 2020 af K22

Hvordan skal man vide, hvilken af de 7 svarmuligheder som mit CAS-værktøj gav er rigtigt? Se vedhæftede

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2020-03-29 kl. 10.35.28.png

Brugbart svar (0)

Svar #9
29. marts 2020 af mathon

Det har du misforstået/fejlberegnet.

Genlæs #4.

Svar #10
29. marts 2020 af K22

Hvad er det jeg har misforstået/fejlberegnet? Er de stationære punkter ikke der hvor f_x(x,y) = 0, f_y(x,y) = 0 ?

Brugbart svar (0)

Svar #11
29. marts 2020 af mathon

Jo men der er kun 5 stationære punkter.

Skriv et svar til: De stationære punkter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.