Matematik

integral

08. april 2020 af janhaa - Niveau: Universitet/Videregående

$I=\int_0^2 \frac{\sin^8(x)}{\sin^8(x)+\sin^8(2-x)}\,dx$

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. april 2020 af Capion1

Additionsformlen
sin (2 - x) = (sin 2)·cos x - (cos 2)·sin x
og en forkortelse af integranden med sin⁸ x

$\frac{1}{1+\left ( \frac{\sin \left ( 2-x \right )}{\sin x} \right )^{8}}\, =\, \frac{1}{1+\left ( \sin 2\cdot \cot x-\cos 2 \right )^{8}}$
kan umiddelbart ikke hjælpe os.

Svar #2
08. april 2020 af janhaa

substitution u = 2 -x

helps:

$2I = \int_0^2\,dx\\ \\2I=x|_0^2\\ \\ 2I=2\\ I=1$

Svar #3
09. april 2020 af janhaa

Where:

$\int_b^a\,f(x)\,dx=\int_b^a f(a+b-x)\,dx$

Brugbart svar (0)

Svar #4
09. april 2020 af Capion1

Jeg er måske en smule overtræt lige nu, - men hvordan hænger # 2 sammen?

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. april 2020 af Capion1

LaTeX er af og til ude af drift. Opgaven er at bestemme integralet fra 0 til 2 af
sin⁸ x / ( sin⁸ x + sin⁸ (2 - x) )

Brugbart svar (2)

Svar #6
09. april 2020 af swpply (Slettet)

Begynd med at observere at nævneren i integraten er symmetrisk omkring x = 1. Dette motivere os til at foretage følgende omskrivning

$\begin{align*} I &= \int_0^2\frac{\sin^8(x)}{\sin^8(x) + \sin^8(2-x)}\,dx \\&= \int_{-1}^1\frac{\sin^8(1+t)}{\sin^8(1+t) + \sin^8(1-t)}\,dt \end{align*}$

hvor sidste ligheden følger ved substituationen $t=x-1$ .

Brug nu at tælleren kan skrives som en sum af en én lige og én ulige funktion

$\sin^8(1+t) = \underbrace{\frac{\sin^8(1+t) + \sin^8(1-t)}{2}}_\text{lige} + \underbrace{\frac{\sin^8(1+t) - \sin^8(1-t)}{2}}_\text{ulige}$

Dermed har du at

$\begin{align*} 2I &= \int_{-1}^1\frac{\cancel{\sin^8(1+t) + \sin^8(1-t)}}{\cancel{\sin^8(1+t) + \sin^8(1-t)}}\,dt + \int_{-1}^1\frac{\sin^8(1+t) - \sin^8(1-t)}{\sin^8(1+t) + \sin^8(1-t)}\,dt \\ &= \int_{-1}^1dt + J \end{align*}$

hvor at

$J = \int_{-1}^1\frac{\sin^8(1+t) - \sin^8(1-t)}{\sin^8(1+t) + \sin^8(1-t)}\,dt$

Observer nu at tælleren i $J$

$f(x) = \sin^8(1+t) - \sin^8(1-t)$

er en ulige funktion samt at nævneren i $J$

$g(t) = \sin^8(1+t) + \sin^8(1-t)$

er en lige funktion til at slutte at integranten i $J$ er en ulige funktion. Dermed har du at $J = 0$ , eftersom at en ulige funktion integreret over et symmetrisk interval altid vil forsvinde.

Du hatr hermed vist at

$2I = \int_{-1}^1dt = 2$

og dermed at $I = 1$ .

Brugbart svar (1)

Svar #7
09. april 2020 af swpply (Slettet)

NB. Du kan bruge ovenstående argument til at vise at resultatet gælder mere generalt, altså at

$\int_{0}^2\frac{\sin^n(x)}{\sin^n(x) + \sin^n(2-x)}\,dx = 1$

for et vilkårligt $n\in\mathbb{N}$ .

Skriv et svar til: integral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.