Ortogonale linjer til y=3/4x+25/4, som også tangerer c x^2+y^2=25

Her er beskrivelsen. Selv hints hjælper ikke.

Ligningen for y =x*3/4 går gennem centrum for cirklen. Der hvor denne linje skærer cirklen er tangenten vinkelret på linjen og dens tangent ortogonal til cirklen. Så find deres fællespunkter d.v.s. løs denne ligning sammen med cirklens ligning og du får de to punkter, hvor den søgte tangent rører cirklen.

Ovenstående metode er lettere end tippet

To linjer er ortogonale netop hvis produktet af deres hædningskoefficienter er -1, så hældningskoefficienten for n₁ og n₂ = -1/(3/4) = -4/3.
De to tangenter har altså ligning y = -4/3·x + b
Indsæt det i cirklens ligning for at bestemme skæringspunkt (x,y). Skaf 0 på højre side og gang evt. på begge sider for at slippe af med brøkerne.
Du har nu en 2.gradsligning i x, hvor b indgår i koefficienterne.
Du ved, at denne ligning kun har én løsning, da tangenten kun har ét punkt fælles med cirklen. Altså skal diskriminaten være 0.
Bestem diskrimiminanten og løs d = 0 mht. b.
Indsæt de fundne b-værdier i tangenternes ligning.

Mange tak for svar.
Jeg er vist desværre stadig lidt lost.
1) hvordan ved du at produkt af hældningskoeeficienter er -1 når de er ortogonale. Er det bare en regel?
2)Jeg har nu indsat i cirklens ligning:
x^2 + (-4/3*x+b)^2=25 og får: 25/9x^2 + b^2 - 8/3b - 25 = 0 
Forstår ikke hvordan jeg skal løse den, når der er to ubekendte i 2. potens? Hvor går jeg galt i byen?

På forhånd tak!

#2 Hej peter, 

jeg prøvede også din metode, men det gik også helt galt. 
Hvordan ved du den går gn centrum? Og da jeg regnede det ud fik jeg enten skæring (2,3/2) og (-2,-3/2), hvilket iflg tegninger ikke er rigtigt. Prøvede også hvor jeg så fik y-værdi til at være sqr(21), men heller ikke det stemte. 
 

Jeg har lige læst op på det med hældningskoefficienter, så det forstår jeg nu. 
Men jeg forstår stadig ikke hvordan jeg kommer videre med både x^2 og b^2

#5 Centrum for cirklen er (0, 0) og hvis du indsætter det i den nævnte linjes ligning får du, at den er opfyldt.

Vedlæg dine udregninger for at jeg kan se hvad du har har gjort galt

#3

Jeg har regnet lidt videre, forstår måske hvad du mener.
Det giver altså 25/9x^2 + b^2 - 8/3bx - 25 = 0 
Jeg har altså (ift a,b,c i d) a= 25/9 b=-8/3b og c=-25, men hvad sker der med den der b^2?
Når jeg så forsøger at regne diskriminant for at isolere b får jeg:

0=(-8/3b)^2 -4* 25/9 * (-25) ??

#4

1) hvordan ved du at produkt af hældningskoeeficienter er -1 når de er ortogonale. Er det bare en regel? 
2)Jeg har nu indsat i cirklens ligning:
x^2 + (-4/3*x+b)^2=25 og får: 25/9x^2 + b^2 - 8/3b - 25 = 0 
Forstår ikke hvordan jeg skal løse den, når der er to ubekendte i 2. potens? Hvor går jeg galt i byen?

1) Ja, det er en sætning, men ellers kan du bestemme hældningskoefficienten ud fra retningsvektoren.

, så a_n = -4/3

2) Her har du lavet en fejl, du har glemt x i det dobbelte produkt (-8/3)b·x?
Det er en 2.gradsligning med x som ubekendt, b er bare et (ukendt) tal. Det bliver lettere at overskue, hvis du ganger med 9 på begge sider: 

Du skal ikke løse den, men udnytte, at du ved, at den kun har én løsning, så d = 0.

Diskriminanten 
Så skal du til gengæld løse d = 0 mht. b.

#8
Det giver altså 25/9x^2 + b^2 - 8/3bx - 25 = 0 
Jeg har altså (ift a,b,c i d) a= 25/9 b=-8/3b og c=-25, men hvad sker der med den der b^2?

b² hører med til konstanten c, da x ikke indgår.
0=(-8/3b)² -4* 25/9 * (b²-25) Så skal du reducere det og løse mht. b.

Som bonus får du lige et par kommentarer:

1. Det er en smaddergod idé, at du laver en tegning til at tjekke på. 

2. Det er også fint, at du faktisk går ind og læser op på de ting, du får anvist, og at du prøver at regne videre, men ..... - hvad tror du nu, jeg vil sige?
Du bør gøre det FØR du bare sender nye spørgsmål ud i æteren. Dels gør det nemlig, at det er noget, du selv finder ud af, og det giver en meget bedre læring end noget, der bare bliver serveret for dig, og så kan du være meget mere specifik i forhold til det, der er et reelt problem. Dels er der jo ingen grund til at vi bruger tid på at udpensle noget, du faktisk selv har fundet frem til.

3. Hvis du regner i hånden - og det er en god idé for øvelsens skyld - så tjek med dit CAS-værktøj, så du kan fange evt. smuttere.

Hvis du indsætter y = x*3/4 i cirklens ligning bliver ligningen til x²+x²*9/16 = x²*25/16 = 25 og dermed x²=16 <=> x = ± 4 Punkterne er derfor (4, 3) og (-4, 3)

Jeg ved jo ikke, hvilke krav der var til opgaven, men den kan nemt løses vha. grafværktøjet ud fra "fidusen" i #2, som du også selv var inde på i #0.

#10 og #11 MANGE TAK for svar! Det er en stor hjælp!

#10
Tak! Jeg forstår nu, at jeg har set det som (3/4+x)^2 og ikke (3/4*x)^2, som det jo er og dermed fået længere udregninger med både x^2, x og tal.
Når jeg tegner det ind kan jeg se det passer - dog med det forbehold at det er (4,3) og (-4,-3). (-4,3) er ikke tangent, men skærer to steder. 

#11 
Også mange tak og du har helt ret! Det gik lidt for hurtigt. 
Din metode hjælper til at forstå, hvordan det er tænkt den skulle regnes, selvom jeg selv var ude i noget a la Peters (og ikke helt selv kunne løse det).
Jeg når dog ikke helt i mål med beregningerne og ved ikke hvor kæden hopper af.
Nu skriver jeg det, men er helt indforstået med hvis det er lige rigeligt og du ikke har tid længere. I så fald, uanset tak for hjælpen indtil videre.
Som du sagde:
0=(-24b)^2 - 4*25*(9b^2-225)
0=24^2*b^2 - 900b^2 + 900
0=-324b^2 + 900
b = sqr(900/324) = 5/3  så langt så godt  (regnet på maskine)

Det giver altså y=-4/3x + 5/3 

Nu indsætter jeg i cirklens ligning (x^2 + y^2 = 25), for at finde punkterne, hvor de mødes, som jeg skal bruge til at lave ligningerne? 
Får: x^2 + (-4/3x + 5/3)^2 = 25 som giver
x^2 + 16/9 x^2 - 40/9x + 25/9 - 25 = 0
har ganget med 9 og får: 9x^2 + 16 x^2 - 40x + 25 - 225 = 0 ==> 25x^2 - 40x - 200 = 0
Så har jeg regnet d og fået (regnet på maskine)
d= (-40)^2 - 4*25*(-200) = 21600
x er (40 +/- sqr(21600))/2*25 som giver mig x=3,8 v x=-2,14 
videre har jeg indsat x-værdierne i cirklens ligning for at finde y-værdierne og får
y=sqr(25-3,8^2)=3,24 og y=sqr(25-(-2,14)^2)=3,24
altså burde punkterne være (3,8;3,24) og (-2,14;3,14) og har med dem brugt vektoren (1, 3/4) som normalvektor, altså (x-3,8) + 3/4(y-3,24)=0 og (x+2,14) + 3/4(y-3,14)=0
Jeg plotter de to linjer og får at den første næsten passer, hvilket jgiver mening, da den tilnærmelsesvis er det samme som Peters (hvis jeg runder op/ned). Den anden passer overhovedet ikke, men er jo heller ikke i nærheden af at ligne hans punkt (-4,-3). 

Er min fremgangsmåde rigtig ift det læreren og du, AMelev, har ment? 
Ellers tror jeg jeg må kaste håndklædet i ringen for nu.

Igen, tak for hjælpen.

#12

Kan se jeg har misset dit svar, mens jeg har regnet og skrevet mit lange svar.
Tak for svar igen. 
Vi må bruge værktøj til at tjekke, men ikke kun løse med værktøj. Mest af alt. var jeg også nysgerrig (og ekstremt forvirret) over det hint, der var givet, da jeg aldrig selv ville have tænkt det og ikke forstod, hvordan det var smart/kunne hjælpe mig og samtidig heller ikke kunne løse det på den måde jeg tænkte i #0.

Derfor kæmpe tak for ihærdigheden, selvom jeg stadig ikke har løst den v den metode, der er foreslået af hhv. dig/min lærer.

#13
0=(-24b)^2 - 4*25*(9b^2-225)
0=24^2*b^2 - 900b^2 + 900 22500
0=-324b^2 + 900 22500  , du glemmer, at der er 2 løsninger til 

dvs. n: y = -4/3x ± 25/3 Nu har du nok til at besvare opgaven.

Hvis du bruger den anden metode, skal du bestemme ligningerne for tangenterne i de to punkter.

Dette er irrelevant i forhold til opgaven, men OK som kontrol: Ovenstående fejl gør selvfølgelig, at det ikke passer. Hvis det sker i en eksamenssituation, så skriv "Jeg kan se på ....., at jeg har lavet en fejl, men jeg kan ikke finde fejlen." Det giver et godt indtryk, at du faktisk har reflekteret over dine resultater.
               "Nu indsætter jeg i cirklens ligning (x^2 + y^2 = 25), for at finde punkterne, hvor de mødes, som jeg skal bruge til at lave ligningerne? ......
Jeg plotter de to linjer og får at den første næsten passer, hvilket jgiver mening, da den tilnærmelsesvis er det samme som Peters (hvis jeg runder op/ned). Den anden passer overhovedet ikke, men er jo heller ikke i nærheden af at ligne hans punkt (-4,-3). "

Da (1, 3/4) er normalvektor for n1 og n2, har disse ligningen:
  x + 3/4 y + c = 0

For at tangere cirklen skal afstanden fra n1 og n2 til centrum af c være cirklens radius.
Dvs. afstanden til (0, 0) er 5. Pga. punktet er (0, 0) reducerer afstandsformlen til
   

Dvs.
   

#15 
Tak for de udførlige svar og at fange mine fejl. Jeg kan endelig se og forstå mine regnefejl, forstå den metode min lærer har tænkt og at jeg i den metode ikke skulle lede efter selve punkterne og selvfølgelig heller ikke skal indsætte i cirklens ligning to gange, som jeg har haft gang i. Så må det jo gå galt.

#16 
Tak for denne metode også. Jeg havde selv tænkt på at bruge radius og aftandsformel, men igen kunne jeg kun se det for mig geometrisk og ikke hvordan jeg skulle gribe det an. Tak!