Matematik

Cobwebdiagram

18. april 2020 af Matematik10 - Niveau: A-niveau

Hej alle

Jeg sidder fast ved en matematikopgave, og håber at nogle af jer dygtige matematikere vil hjælpe mig. :) 

En opgaver lyder sådledes:

En differensligning er bestemt ved:

yn+1 = 6*y- yn, n = 0,1,2,.... 

a) Tegn et cobwebdiagram for differensligningen.

Her jeg fået en andengradsparabel, der har toppunktet (3,9). Og har følgende skæringspunkter med x-aksen (0.0) og (0.6) 

Men mit spørgsmål her er, hvordan ville man komme frem til svarene her, hvis man skulle lave det i hånden. Opgaven skal nemlig laves i hånden, men har i dette tilfælde snydt lidt og brugt Nspire til at lave cobwebgrammet. 

b) Bestem de to fikspunkter for differensligningen grafisk og ved beregning

Jeg forstår ikke helt hvad der menes med de to fikspunkter, er det skæringenspunkterne med x-aksen? Og hvordan skal dette vises ved hjælp af beregning? 

Jeg takker pænt på forhånd :) 


Brugbart svar (0)

Svar #1
18. april 2020 af Soeffi

#0. Fixpunkterne er der hvor kurven skærer y = x. Se evt. https://www.youtube.com/watch?v=gojeMEkQqTM.


Svar #2
19. april 2020 af Matematik10

Så grafisk set er det (0.0) og (6.0) i dette tilfælde?

Men hvordan skal dette vises med beregningerne?


Svar #3
19. april 2020 af Matematik10

Kan man som udgangspunkt ikke bare bruge formlen for diskriminaten? 


Brugbart svar (0)

Svar #4
19. april 2020 af swpply (Slettet)

Fixpunkterne bestemmes analytisk ved at betingelsen \begin{align*} y_{n+1} = y_n \end{align*} skal være opfyldt, hvorfor at

                             \begin{align*} y_n = 6y_n-y_n^2 \quad&\Leftrightarrow\quad y_n^2 - 5y_n = 0 \\ &\Leftrightarrow\quad y_n(y_n - 5) = 0 \\ &\Leftrightarrow\quad y_n = 0 \quad\vee\quad y_n=5 \end{align*}

Altså er \begin{align*} y_n = 0 \end{align*} og \begin{align*} y_n = 5 \end{align*} samtlige fixpunkter for differensligningen.


Brugbart svar (1)

Svar #5
19. april 2020 af swpply (Slettet)

COBWEB GRAF

Den røde linje svare til \begin{align*}y_{n+1} = y_n \end{align*}.

Den blå linje svare til begyndelsespunktet \begin{align*}y_{0} = 0.01 \end{align*} 
og den grønne svare til begyndelsespunktet \begin{align*}y_{0} = 0.03 \end{align*}.

Det kan hurtigt inses at næsten samtlige begyndelsespunkter \begin{align*}y_{0}\end{align*} vil føre til divergens.

Vedhæftet fil:cobweb.png

Brugbart svar (2)

Svar #6
19. april 2020 af AMelev

#1 
Tegning af parablen y = g(x) = 6x - x2 = x·(6 - x) i hånden.
Af dovenskab har jeg omdøbt yn+1 til y og  yn? til x.

Indsæt x-værdierne 0, 1, 2, 3, 4, 5 og 6 (udnyt evt., at parablen er symmetrisk om linjen x = 3), så får du 2.koordinaterne 0, 5, 8, 9, 8, 5, 0. Derudfra kan du lave en rimelig pæn parabel.
Så tegner du linjen y = x i samme koordinatsystem. Skæringspunkterne er, der hvor g(x) = x, dvs. 1.koordinaterne er fikspunkter. 

#3 Mener du løsningsformlen til 2.gradsligningen, så jo, men det er nok nemmere at bruge nulreglen.

Vedhæftet fil:Udklip.JPG

Brugbart svar (0)

Svar #7
27. april 2020 af SofieAmalieJensen

#5

Hvordan tegner man sådan et diagram? kan man det i GeoGebra?


Brugbart svar (1)

Svar #8
28. april 2020 af AMelev

Du tegner graferne for hhv. g(y) og f(y) = y i samme vindue.


Brugbart svar (1)

Svar #9
28. april 2020 af Soeffi

#7. Hvordan tegner man sådan et diagram...i GeoGebra?

Se evt. https://www.youtube.com/watch?v=GuMPiTwvm-g.


Brugbart svar (0)

Svar #10
28. april 2020 af Soeffi

#5...Det kan hurtigt inses at næsten samtlige begyndelsespunkter \begin{align*}y_{0}\end{align*} vil føre til divergens.

Der er faktisk uendelig mange begyndelsespunkter, der vil ende i et fikspunkt. 

Det ses let, at y0 = 0 og y0 = 6 er eksempler for fikspunktet yn = 0.

Desuden er y0 = 1 og y0 = 5 eksempler på begyndelsesværdier, der fører til, at man rammer fikspunktet yn = 5. Ud fra y0 = 1 kan man gå et trin til venstre og finde en ny start-værdi der vil ende i yn = 5 for to iterationer. Denne værdi er kaldt a på nedenstående figur. Tilsvarende vil y0 = 6 - a ende i yn = 5 efter to iterationer.

Således kan man forsætte i det uendelige med at finde startværdier der ender i det andet fikspunkt, idet man nærmer sig 0 mere og mere fra højre. For hver af disse startværdier, så vil der være en tilsvarende start-værdie som er lig med 6 minus denne og som også rammer fikspunktet yn = 5.

For startværdier mindre end 0 eller større end 6, så vil talfølgen altid gå mod minus uendelig. Det samme gælder begyndelsesværdier mellem 1 og 5.

Vedhæftet fil:Untitled.png

Brugbart svar (0)

Svar #11
28. april 2020 af Soeffi

#10. Nedenunder er vist cobwebdiagrammer for yn+1 = 0,3·yn·(6-yn),  yn+1 = 0,4·yn·(6-yn) og yn+1 = 0,5·yn·(6-yn). I alle tilfælde er det højre fikspunkt stabilt.

Når punktet kommer over på højre side af parablens toppunkt, så ses det, at kurven kredser om fikspunktet.

I det sidste tilfælde ses det, at kurven nærmer sig langsommere og langsommere til fikspunktet. I dette tilfælde er parablens hældning i fikspunktet -1 og man kan ikke være sikker på, hvad der sker omkring fikspunktet.

Vedhæftet fil:Untitled-1.png

Skriv et svar til: Cobwebdiagram

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.