Matematik

Sumfunktion

28. maj kl. 21:59 af Bruthos - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har prøvet at finde sumfunktionen til følgende potensrække

Jeg omskriver rækken

\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n+1}x^n=\frac{1}{x}\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n+1}x^{n+1}

Jeg differentierer og finder sumfunktionen

(\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n+1}x^{n+1})'=\sum_{n=0}^\infty nx^{n} \sim \frac{x}{(1-x)^2}

Integrerer sumfunktionen og ganger med x

\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n+1}x^{n} \sim x\int \frac{x}{(1-x)^2}dx=xlog(1-x)+\frac{x}{1-x}

Jeg har herefter sammenlignet med Maple og WolframAlpha og kan se, at den ikke er rigtig. Hvad gør jeg forkert? Kan ikke se hvordan jeg ellers skal finde sumfunktionen.

På forhånd tak for hjælpen


Brugbart svar (0)

Svar #1
28. maj kl. 22:15 af peter lind

Du kan slet ikke regne på den måde

Brug i stedet at an+1/an -> r hvor r  er konvergensradius


Svar #2
28. maj kl. 22:22 af Bruthos

Jeg har fundet i a), at konvergensradius er 1, eftersom

\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{n+1}{n+2}}{\frac{n}{n+1}}=\lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}=1

Jeg spørger om hjælp til b), hvor jeg skal finde sumfunktionen.

Jeg prøvede at differentiere, så jeg kunne få en geometrisk række, som jeg kan bestemme sumfunktionen af.

Mener du, at jeg også skal bruge konvergensradiussen til at bestemme sumfunktionen? Kan du evt. uddybe?


Brugbart svar (0)

Svar #3
28. maj kl. 22:42 af Mathias7878

Med spørgsmål som disse kan du med fordel spørge på Math Stack Exchange. Der sidder en del flere derinde, der kan hjælpe dig. Husk det er på engelsk! 

- - -

 

 


Svar #4
29. maj kl. 00:29 af Bruthos

Tror jeg har fundet sumfunktionen nu:

\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n+1}x^n=\sum_{n=0}^\infty x^n-\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{1+n}x^n \quad (1) 

Får følgende sumfunktioner til rækkerne

\sum_{n=0}^\infty x^n \sim \frac{1}{1-x} \quad \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{1+n}x^n=\frac{1}{x}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{1+n}x^{n+1} \sim -\frac{\log(1-x)}{x}

Dermed må 

\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n+1}x^{n} \sim \frac{1}{1-x} +\frac{\log(1-x)}{x}

Er bare lidt i tvivl, om jeg altid må dele rækken op ligesom i (1)? 


Skriv et svar til: Sumfunktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.