Matematik

Andengradspolynomier

09. juni 2020 af Hjælpmighurtigtt - Niveau: B-niveau

Er der en som kan hjælpe mig med nedslående opgave?

Vedhæftet fil: fullsizeoutput_327.jpeg

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. juni 2020 af Eksperimentalfysikeren

Der er en fejl i anden linie i wikipedias bevis. a skal være i anden potens.

Der er en anden måde at gøre det på. Den er efter min mening mere intuitiv:

Begge metoder benytter kvadratsætningen (p+q)2 = p2 + 2pq + q2.

ax^{2} + bx +c =0

Hvis a=0, er der ikke tale om en andengradsligning, så ligningen kan dividerese igennem med a:

x^{2} + \frac{b}{a}x +\frac{c}{a} =0

x2 svarer til p2 i kvadratsætningen, s x svarer til p. Leddet (b/a)x indeholder x i første potens og er derfor kandidat til at være 2pq. Det kræver, at q= b/(2a). Dermed har vi de to led af kvadratsætningens højre side. Det sidste led må nødvendigvis være (b/(2a))2. Derfor lægges dette til på begge sider af lighedstegnet:

x^{2} + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^{2}+\frac{c}{a} =(\frac{b}{2a})^{2}

Derefter trækkes c/a fra på begge sider af ligedstegnet:

x^{2} + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^{2} =(\frac{b}{2a})^{2}-\frac{c}{a}

Nu bruges kvadratsætningen på venstre side af lighedstegnet og brøkerne reduceres på højre side af lighedstegnet

(x+ \frac{b}{2a})^{2} =\frac{b -4ac}{4a^{2}}

Kvadratroden uddrages på begge sider af lighedstegnet

x+ \frac{b}{2a} =\pm \sqrt{\frac{b -4ac}{4a^{2}}} = \frac{\pm \sqrt{b -4ac}}{2a}

Til sidst trækkes b/(2a) fra på begge sider af lighedstegnet.

x =\frac{-b\pm \sqrt{b -4ac}}{2a}

Grunden til at jeg foretrækker denne metode er, at i den anden metode trækkes 4a op af hatten uden begrundelse.


Brugbart svar (0)

Svar #4
10. juni 2020 af mathon

Uanset valg af kvadratkompletteringsmåde
kræver komplettereingen en sum af to kvadrattal og det dobbelte rodprodukt regnet med fortegn.

Ved at multiplicere  ax^2+bx+c=0\quad a\neq0  med 4a opnås det éne kvadrattal (2ax)^2 og nok så
pædagogisk vigtigt leddet 4axb som let omskrives til 2\cdot \left (2ax \right )\cdot b hvor b er det andet kvadrattals rod.
Kompletteringen fordrer derfor det andet kvadrattal b^2, som adderes og subtraheres uden at udtrykket 
forandres algebraisk. Endvidere "foræres" udtrykket -\left (b^2-4ac \right ) ret tidligt, så kombinationen af brøk
og kvadrering undgås til glæde for mange gymnasiaster. (Brøkregning synes ikke at være noget, de fleste har med i folkeskolebagagen).

  \small \begin{array}{lll|lll}& ax^2+bx+c=0&&&\textup{multipliceres med \textit{\textbf{4a}}}\\ &&\\& 4a^2x^2+4abx+4ac=0&&&\textup{let omskrivning}\\&&\\& (2ax)^2+2\cdot \left ( 2ax \right )\cdot b+4ac=0&&&\textup{det manglende kvadrattal adderes og subtraheres}\\ &&\\& \left ((2ax)^2+2\cdot \left ( 2ax \right )\cdot b+\mathbf{b^2} \right )-b^2+4ac=0&&&\textup{kvadratleddet er komplet}\\ &&\\& \left (2ax+b \right )^2-(b^2-4ac)=0&&&\textup{efter oprettelse af minusparentes}\\ &&&&\\& \left (2ax+b \right )^2=d&&&\textup{som \textbf{hvis} }d\geq 0\textup{ giver}\\&&\\& 2ax+b=\mp\sqrt{d}=0&&&\textup{2ax isoleres}\\ &&\\& 2ax=-b\mp\sqrt{d}&&&\textup{der divideres med 2a}\\\\ &\qquad \qquad\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad x=\frac{-b\mp\sqrt{d}}{2a} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #5
10. juni 2020 af Eksperimentalfysikeren

Problemet med det er, at man skal lære udenad, at man skal gange med 4a. Hvorfor ikke 17b eller 23f ? Ved den gamle metode kan man se, hvilken vej man skal.

Den manglende viden om brøkregning er faktisk en god grund til at få stoffet repeteret. CBS klager over at mange af deres nye studerende ikke kan brøkregning.

Trådstarter har tilsyneladende fået et tilfredsstillende svar, så jeg standser her.


Skriv et svar til: Andengradspolynomier

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.