Bevis for lige og ulige tal - HJÆLP

2. udsagn

#0 I dit andet indlæg spørger du om hvordan du argumenterer for at summen 2mn+m+n er et heltal. Du ved at summen mellem to eller flere heltal giver et heltal, derfor er 2mn+m+n et heltal. Skrevet kortfattet:                                                                                             Da m,n∈Z, er 2mn+m+n∈Z.                                                            Det kunne du tilføje i dit bevis (skrevet i sort).                                                                                                    Dit andet bevis (skrevet i rødt) synes jeg ikke giver mening.

Hvordan kan man bevise det sted, som er skrevet i rødt? Hvad er dit bud?

#0.

p: x er ulige og y er ulige. q: x·y er ulige.

1) VIs p ⇔ q

2) Vis ¬p ⇔ ¬q ...Svar: 1) og 2) er ækvivalente; har man vist den ene, så har man også vist den anden.

Og hvordan kommer man videre derfra

#5 Så er du færdigt.

Men hvordan viser jeg det, hun har skrevet

Hvordan viser jeg: Hvis x og y er ulige, så er x * y ulige.

#4...

1) Vis p ⇔ q 

Svar: Man viser først p ⇒ q og dernæst q ⇒ p. Det sidste vises som den ækvivalente påstand: ¬p ⇒ ¬q. 

p ⇒ q: Hvis x og y begge er ulige, så gælder: x = 2·n + 1 ∧ y = 2·m + 1 ⇒ x·y = 4·(n·m + n + m) + 1 ⇒ x·y er  ulige.

¬p ⇒ ¬q: Hvis ikke x og y begge er ulige, så gælder at: x = 2·n ⇒ x·y = 2·n·y ⇒ x·y er lige. Tilsvarende for y = 2·n. Q.E.D.

2) Vis ¬p ⇔ ¬q 

Svar: 1) og 2) er ækvivalente; har man vist den ene, så har man også vist den anden.

Er beviset med -p og -q et modstridsbevis?

Kan man skrive det sådan her?

Vi vil bevise ved modstrid, at x og y skal være ulige for, at x gange y er ulige. Vi antager, at x er ulige. Vi indsætter x = 2n

x * y = 2n * y = 2ny.

Her kan vi se, at x * y er lige. Tilsvarende for y = 2n. Altså skal x og y være ulige for, at x * y er ulige.

Er beviset med -p og -q et modstridsbevis?

Hvis du mener beviset for implikationen ¬p ⇒ ¬q, så er svaret nej. Det kaldes for et bevis ved kontraposition. Husk at p ⇒ q ≡ ¬p ⇒ ¬q, dvs. de er logisk ækvivalente. 

Men er mit svar rigtigt nu