Bevis for lige og ulige tal - haster

#0.

Begge lige: x = 2n ∧ y = 2m ⇒ x·y = 4·nm, som er lige

x lige og y ulige (eller omvendt): x = 2n ∧ y = 2m + 1 ⇒ x·y = 2·n·(2m + 1), som er lige

Begge ulige: x = 2n + 1 ∧ y = 2m + 1 ⇒ x·y = (2n + 1)·(2m + 1) = 2·(2·nm + 2·(n + m)) + 1, som er ulige

Jeg behøver altså ikke hele modstridsbeviset? Det er tilstrækkeligt med et direkte bevis?

Hvad med nu?

Vi skal vise
x·y er ulige, hvis og kun hvis x er ulige og y er ulige. 
Vi starter med et direkte bevis. Antag altså at x·y er ulige. Sætning 54 siger, at et helt tal x er ulige hvis og kun hvis der findes et helt tal n, så x=2n+1. Vi indsætter x=2m+1 hvor m ? z og y=2n+1 hvor n ? Z i x·y og får
x·y=(2m+1)·(2n+1)=4mn+2m+2n+1 =2(2mn+m+n)+1  
Vi har formen af et ulige tal, hvor der står 2 et eller andet plus 1. Hvis udtrykket ovenfor er et heltal, så har vi vist, at det er et ulige tal. 2(2mn+m+n)+1  kan altså skrives som et ulige tal på formen 2k+1.

Vi starter med et direkte bevis, hvor vi skal bevise, at x·y er lige, hvis og kun hvis x eller y er lige. Vi antager, at x·y er lige. Vi indsætter x=2m  og y=2n+1       m,n ? Z og får 
x·y=(2m)·(2n+1)=4mn+2m=2(2mn+m)=2p
Udtrykket 2(2mn+m) er et heltal, fordi produktet af to heltal er et heltal. Når der ganges med 2, er det et heltal, og når man lægger et heltal til et andet heltal, er det også et heltal. Det betyder, at 2mn er et heltal, hvor vi lader 2mn + m = p ? Z . Udtrykket 2(2mn+m) kan altså skrives som et lige tal på formen 2p. Dermed har vi bevist, at x·y er lige, hvis og kun hvis x eller y er lige.

#4 Det du forsøger at bevise, er udsagnet: Hvis x·y er lige, så er x eller y lige.                                                Desværre går det galt ved at lave et direkte bevis, idet dine omskrivninger ikke fører til oplysninger om x eller y er lige.                                                                                                                                                               En alternative metode er bevis ved kontraposition.                                                                                             Antag at x og y er ulige. Da er x = 2m +1 og y = 2n +1, hvor m,n∈Z. Da er produktet                                                                                          x·y = (2m+1)·(2n+1) = 2(2mn +  m + n) +1,                                                             hvor 2mn +  m + n ∈Z. Hermed er x·y ulige.

#5 Det andet udsagn, er: Hvis x eller y er lige, så er x·y lige,                                                                                Et direkte bevis                                                                                                                                                      Antag, at x eller y er lige. Uden tab af generalitet, sættes x til at være lige. Da er x=2k, hvor k∈Z. Da er                                                                     x·y = (2k)·y = 2·(ky)                                                                                          hvor ky ∈Z. Hermed er x·y lige.

#0. Hvis du kombinerer #1 og #5: x,y,n,m ∈ Z.

Hvis x og y begge er ulige: x = 2·n + 1 ∧ y = 2·m + 1 ⇒ x·y = 4·(n·m + n + m) + 1 , som er ulige

Hvis ikke x og y begge er ulige: x = 2·n ⇒ x·y = 2·n·y, som er lige

Dermed gælder hvis og kun hvis.

Kan du formulere et bevis for begge veje og med mere tekst?

#8 Indholdet i #4 og i #5 udgør tilsammen et bevis for dit udsagn. Og som der ligeledes nævnes i #7, kombinationen af #1 og #5.

#8 Jeg overlader tekst-delen til dig, eftersom det er dig, der ved hvor i beviset, du har behov for den. 

#7. Du har:...

1) udsagn p: x og y tilhører Z og er begge ulige og

2) udsagn q: x·y er ulige

Du skal vise: p ⇔ q.

Du ved ¬p ⇒ ¬q ⇔ q ⇒ p. Dvs. hvis du har vist p ⇒ q og ¬p ⇒ ¬q , så har du vist p ⇔ q.

p ⇒ q: Hvis x og y begge er ulige, så gælder x = 2·n + 1 ∧ y = 2·m + 1 ⇒ x·y = 4·(n·m + n + m) + 1, der viser at x·y er  ulige

¬p ⇒ ¬q: Hvis ikke x og y begge er ulige, så gælder at: x = 2·n ⇒ x·y = 2·n·y, der viser at x·y er lige

#12 Da m,n ∈ Z, er 2mn+m+n ∈ Z

Kan du se det nye indlæg jeg har skrevet og svare på mit spørgsmål? Please :(