Matematik

Taylorpolynomium for funktion f = arcsin

19. oktober 2020 af Cudex - Niveau: Universitet/Videregående

Funktionen arcsin: [−1,1] → [−π/2,π/2] er defineret

som den omvendte funktion til sin: [−π/2,π/2] → [−1,1] og opfylder

altså, at sin(arcsin(x)) = x for alle x ∈ [−1,1]. Endvidere, arcsin er

differentiabel på (−1, 1) med differentialkvotient (arcsin)' (x) = (1/)(sqrt(1−x^2))

1. Bestem Taylorpolynomiet T3f af 3. orden omkring udviklingspunktet a = 0 for funktionen f = arcsin.

2.Beregn dette Taylorpolynomiums værdi b = T3f(2) i x = 2. Forklar med udgangspunkt i ligningen sin(π/6) = 12, hvorfor tallet 6b er en tilnærmelse til π. Hvor meget afviger 6b fra din egen approksimation til π (Hvis du ikke har en sa° sammenlign med tilnærmelsen 3,14)?

Er der en venlig sjæl som kan hjælpe med dette spørgsmål?, Har ingen ide om hvorledes denne skal løses.

Brugbart svar (1)

Svar #1
19. oktober 2020 af mathon

$\small \begin{array}{llllll}\\& \begin{array}{llllll} f(x)=\sin^{-1}(x)\\\\ f{\,}'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\\\ f{\,}''(x)=\frac{-x}{\left ( x^2-1 \right )\sqrt{1-x^2}}\\\\ f{\,}'''(x)=\frac{2x^2+1}{\left ( x^2-1 \right )^2\sqrt{1-x^2}} \end{array}\\\\ \textup{Taylor:}\\& \begin{array}{llllll} T_3f(x)= f(x_o)+\frac{x-x_o}{1!}f{\,}'(x_o)+\frac{(x-x_o)^2}{2!}f{\,}''(x_o)+\frac{(x-x_o)^3}{3!}f{\,}'''(x_o) \end{array}\\\\ \textup{Aktuelt:}\\& \begin{array}{llllll} T_3f(x)= f(0)+\frac{x}{1!}f{\,}'(0)+\frac{x^2}{2!}f{\,}''(0)+\frac{x^3}{3!}f{\,}'''(0)\\\\ T_3f(x)= 0+x\cdot 1+\frac{x^2}{2}\cdot 0+\frac{x^3}{6}\cdot 1=\frac{1}{6}x^3+x\\\\ b=T_3f(\frac{1}{2})=\frac{1}{6}\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^3+\frac{1}{2}=\frac{25}{48}\\\\\ \sin\left (\frac{\pi}{6}\right )=\frac{1}{2}\\\\ \frac{\pi}{6}=\sin^{-1}\left ( \frac{1}{2} \right )\approx b\\\\ \pi\approx 6b=6\cdot \frac{25}{48}=\frac{25}{8}=3.125 \end{array}\\\\\\ \textup{afvigelse:}& 3.14-3.125=0.015\\\\ \textup{afvigelse i \%:}&\frac{0.015}{0.0314}\%=0.48\% \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
19. oktober 2020 af mathon

Din tekst
$\small \sin\left ( \frac{\pi}{6} \right )=12$ er noget sludder.

Skriv et svar til: Taylorpolynomium for funktion f = arcsin

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.