Limit og kontinuitet

#0 

Mht. a) Jeg vil nu mene, at f er kontinuert ved x = 0. Hvis x ≠  0 er                                                                                                                               | f(x) - f(0) | = | x²·sin(ln(|x|)) - 0 | ≤ |x²|                                                          Heraf haves | f(x) - f(0) | → 0 når x → 0 fra højre- og venstreside af x = 0. Se vedhæftede billede.

#0 Mht. a) Desuden spørges der om f er differentiabel ved x = 0. Umiddelbart er det klart, at f er differentiabel for ethvert x ≠ 0, hvor                                                                                                                                                                                                   df/dx = 2x·sin(ln(|x|)  +  x²·cos(ln(|x|))·(1/|x|)·(x/|x|)                                                                                                        = 2x·sin(ln(|x|)  + (x²/|x|²)·x·cos(ln(|x|))                                                                                                                  = 2x·sin(ln(|x|)  +  x·cos(ln(|x|)).                                                                                                                                                                                                                                           Der undersøges nu om f er differentiabelt ved x = 0. Der haves                                                                                                                    ( f(x) - f(0) )/(x - 0) = ( x² ·sin(ln(x)) - 0 )/(x - 0 ) → 0 når x→ 0                                     dvs. når x konvergerer fra højre- og venstresiden af tallet 0. Altså er f differentiabelt ved x = 0 (eller rettere, hele den reelle talakse)