Matematik

Funktionsrum

12. november 2020 af 45yy45y5 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg får at vide, at U er et underrum i $C^\infty (\mathbb{R})$ udspændt af de 3 vektorer:

$cos(t)$

$sin(t)$

$e^t$

Jeg skal vise, at de udgør en basis for U. Det er givet, at de ligger i U, så jeg skal nok vise, at de er lineært uafhængige, men jeg er ikke helt sikker på, hvordan jeg gør, når der er tale om funktioner. Kan jeg få et hint?

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. november 2020 af Anders521

#0 Én måde at vise vektorerne som værende en basis for U=span{ cos(t), sin(t),e^t } ⊂ C^∞(R) er ved at opstille matrix, hvor 1.række udgør vektorerne, 2.række udgør deres første afledede, 3.række udgør deres anden afledede. Eftersom der er 3 vektorer, vil matricen have 3 rækker og 3 søjler. Vises determinaten af matricen til at være forskellig fra nul, er vektorerne lineært uafhængige.

Svar #2
12. november 2020 af 45yy45y5 (Slettet)

Det har jeg gjort (se vedhæftede billede), og det ses, at rangen er fuld, og dermed er determinanten forskellig fra 0, men jeg har lidt svært ved at forstå baggrunden for metoden. Kan du forklare?

Vedhæftet fil:Unavngivet.png

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. november 2020 af Anders521

Tilføjelse: determinanten af matricen skal være forskellig fra nul for alle t ∈ R.

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. november 2020 af Anders521

#2 Baggrunden er følgende sætning:

Antag, at f₁, f₂, f₃, ... f_n∈ C^n-1(I) og at der findes et t₀∈I, således at funktionen det( W[f₁, f₂, f₃, ... f_n](t₀) ) ≠ 0. Da er f₁, f₂, f₃, ... f_n lineært uafhængige.

Note: Her betegner bogstavet I for et interval, og W[f₁, f₂, f₃, ... f_n] er Wronski-matricen.

NB. Du skal ikke udføre række-operationer på matricen, men udregne dens determinant.

Skriv et svar til: Funktionsrum

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.