Matematik

Sammenhængen mellem den komplekse eksonentialfunktion og de trigonometriske funktioner

29. december 2020 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg skriver om komplekse tal lige pt. men særlig er jeg dykket ned i Euler's formel og hvordan denne opstår.

Hertil har jeg redegjort for:

$exp(z)=1+z-\frac{z^2}{2!}-\frac{z^3}{3!}+...\frac{z^n}{n!}$

Derefter har jeg også redegjort for

$cos(z)=1-\frac{z}{2!}+\frac{z}{4!}-\frac{z}{6!}...$

$sin(z)=z-\frac{z}{3!}+\frac{z}{5!}-\frac{z}{7!}...$

Og derved kan jeg godt se at

$exp(z)=cos(z)+i\cdot sin(z)$

Problemet er at hvis man løser sin(z) hvor $z=i*\theta$ og $\theta\epsilon \mathbb{R}$

så $sin(z)=sin(i\cdot \theta)$

Så vil der opstå fortegnsproblemer:

$sin(i\cdot \theta)=\theta-\frac{(i*\theta)^3)}{3!}=\theta-\frac{i^3*\theta^3}{3!}=\theta-\frac{(-i)*\theta^3}{3!}=\theta+i\frac{\theta^3}{3!}$

Mit spørgsmål er altså:

Hvor går mit regnestykke galt, så $e^{i\theta}=cos(\theta)+i*sin(\theta)$ kan løses?

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. december 2020 af Capion1

$\sin (i\Theta )=\lim_{n\rightarrow \infty }i\sum_{k=0}^{n}\frac{\Theta ^{1+2k}}{\left ( 1+2k \right )!}$

Svar #2
29. december 2020 af louisesørensen2

Tak for svar Capion1

Kan du forklare mig hvorfor i står udenfor sumtegnet?

Svar #3
29. december 2020 af louisesørensen2

Jeg bemærker at for sinus vil den hedde:

$sin(i\theta)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\cdot (i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Da det er hele argumentet som skal udregnes

Der må bemærkes at

$i=\sqrt{-1}$

$i^2=-1$

$i^3=-i$

$i^4=1$

Brugbart svar (1)

Svar #4
29. december 2020 af Eksperimentalfysikeren

$exp(z)=1+z-\frac{z^2}{2!}-\frac{z^3}{3!}+...\frac{z^n}{n!}$

er ikke rigtig. Der er ingen negative led:

$exp(z)=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+...+\frac{z^n}{n!}$

Men til dit spørgsmål.

Du har en fejl i

$sin(i\cdot \theta)=\theta-\frac{(i*\theta)^3)}{3!}=\theta-\frac{i^3*\theta^3}{3!}=\theta-\frac{(-i)*\theta^3}{3!}=\theta+i\frac{\theta^3}{3!}$

Det skulle være:

$sin(i\cdot \theta)=i\theta-\frac{(i*\theta)^3)}{3!}=i\theta-\frac{i^3*\theta^3}{3!}=i\theta-\frac{(-i)*\theta^3}{3!}=i\theta+i\frac{\theta^3}{3!}$

Sætter du i udenfor en parentes, får du rækkeudviklingen for funktionen sinh(Θ).

Denne funktion hedder hyperbolsk sinus. Den kan skrives som:

$sinh(x) = \frac{exp(x)-exp(-x)}{2}$

Den hører sammen med

$cosh(x) = \frac{exp(x)+exp(-x)}{2}$

Kurven (cosh(s),sinh(s)) er en hyperbelgren, der går gennem (1,0) og har y=x og y=-x som asymptoter.

Svar #5
29. december 2020 af louisesørensen2

Hej Eksperimentalfysikeren,

Tak for det uddybende svar.

Dog har jeg stadig en undring - jeg har nok stirret mig blind på problemet, men fra https://www.mathsisfun.com/algebra/eulers-formula.html

Beskrives følgende: Bemærk bilag 1

Og sammenlignes det med mine svar er det helt henne i skoven: bemærk bilag 2

Det er vel samme resultat, jeg har blot regnet i ud af ligningen? Derudover har mathisfun-hjemmesiden glemt at noter i ved alle led for cosinus, ikke? ellers er jeg helt tabt.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2020-12-29 kl. 20.36.23.png

Svar #6
29. december 2020 af louisesørensen2

bilag 2

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2020-12-29 kl. 20.36.38.png

Brugbart svar (0)

Svar #7
29. december 2020 af Eksperimentalfysikeren

Bilag er korrekt, men der mangler noget, nemlig sammenligningen mellem de tre rækker. Denne sammenligning giver resultatet, at man kan skrive exp(ix) = cos(x) + i sin(x).

Jeg kan ikke se med sikkerhed hvor forfatteren vil hen med bilag 2. Det virker som om forfatteren er kørt af sporet og søger at komme frem til exp(ix) = cos(ix) + i sin(ix), hvilket er forkert.

Han har skrevet rækkeudviklingen op for hver af de tre funktioner med argumentet ix (egentlig iΘ, men det er for besværligt at skulle bruge musen så mange gange). Han vil formodentlig så sammenligne rækkerne og nå frem til den ønskede ligning. Her begår han dog en fejl.I de to rækker for cos og sin har han reduceret ved at udnytte at i²=-1. Det har han ikke i rækken for exp. Hvis han reducerer den på samme måde, dukker der minusser op i rækken, og så ligner den ikke de to andre rækker længere.

Ser man på rækken lige under den tykke sorte streg, kan man se, at fortegnet på andet led i første parentes er forkert. Det gælder også mange af de andre fortegn.

Svar #8
30. december 2020 af louisesørensen2

Tak, igen, for svar, Eksperimentalfysikeren.

1. For at rette mig selv, så i stedet for at skrive:

$exp(i\theta)=cos(i\theta)+i*sin(i\theta)$

Så skal jeg antage at exp er en kompleks funktion (netop ved at den indeholder i ), som vil have komplekse inputs og outputs og derfor hedder den:

$exp(i\theta)=cos(\theta)+i*sin(\theta)$

Korrekt?

2. Det betyder også at hvis man bemærker vedhæftet bilag at i den første parentes ved $exp(i\theta)$ så vil indputtet kun være $\theta$ og ikke $i\theta$ , korrekt? - altså $cos(i\theta)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}*\theta^{2n}}{(2n)!}$ og det tilsvarende vil gælde for sinus i anden parentes?

3. Blot til sidst, for fuldstændighedens skyld, grunden til der står $cos(\theta)+i\cdot sin(\theta)$ er fordi $cos(\theta)$ tilhører den reelle del og at $i\cdot sin(\theta)$ tilhører den imaginære del, men $i\cdot\theta$ er et komplekst tal, hvor $\theta$ tilhører mængden af reelle tal?

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2020-12-29 kl. 20.36.38.png

Svar #9
30. december 2020 af louisesørensen2

Jeg har løst og fået følgende - bemærk bilag

Vedhæftet fil:nyt .png

Brugbart svar (0)

Svar #10
30. december 2020 af Eksperimentalfysikeren

Dine venstresider er forkerte. De skal ikke indeholde i.

Formlerne gælder ikke kun for reelle værdier af Θ.

Svar #11
30. december 2020 af louisesørensen2

Men, det gør de jo hellere ikke mere, hvis du bemærker vedhæftede bilag over din seneste kommentar, vil du se at min konklusion hedder:

$exp(i\theta)=(1-\frac{\theta^{2}}{2!}+\frac{\theta^{4}}{4!}...\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i\theta^{2n}}{(2n)!})+i\cdot (\theta-\frac{\theta^{3}}{3!}+\frac{\theta^{5}}{5!}-\frac{\theta^{7}}{7!}...\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!})$

Som du ved, når jeg indsætter $i\theta$ så går $i$ ud på venstre siden (Cosinus) pga. $i=\sqrt{-1} \bigwedge i^{2}=-1 \bigwedge i^{3}=-i \bigwedge i^{4}=1$

Derved må venstre side da være korrekt, ergo må $exp(i\theta)=cos(\theta)+i\cdot sin(\theta)$ være påvist.

Ellers kan jeg simpelthen ikke se hvor det går galt.

Brugbart svar (0)

Svar #12
31. december 2020 af Eksperimentalfysikeren

Det, du skriver her er korrekt, men i det vedhæftede i #9 har du "cos(iθ) = ..." og så rækken for cos(θ).

Skriv et svar til: Sammenhængen mellem den komplekse eksonentialfunktion og de trigonometriske funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.