Matematik

Find planets ligning indeholdende punkterne P, Q and R

09. januar 2021 af patrick1560 - Niveau: A-niveau

P(2,0,-3) Q(6,2,7) R(0,3,-4)
Spørgsmålet er " Find planets ligning indeholdende punkterne P, Q and R" Det er spørgsmålet ord fra ord?
Hvis jeg husker korrekt er planens ligning vel $a(x- x0) + b(y- y0) + c(z-z0) = 0$
Som omskrives til $ax+by+cz=ax0+by+cz0$
Men som regel har man vel kun 1 normal vektor til planen? Jeg ved slet ikke hvordan man skal løse denne opgave, tror jeg misforstår selve spørgsmålet, så en kort forklaring på hvad spørgsmålet egentlig spørger om vil jeg sætte meget pris.
Tak for hjælpen på forhånd.

Brugbart svar (1)

Svar #1
09. januar 2021 af peter lind

En normalvektor til planen vil være PQ×PR

Svar #2
10. januar 2021 af patrick1560

Tak for svaret.
For at være 100% sikker, hvorfor laver man et krydsprodukt mellem PQ or PR? Hvorfor bruger man P på begge sidder?

Brugbart svar (1)

Svar #3
10. januar 2021 af ringstedLC

#0
Hvis jeg husker korrekt er planens ligning vel $a(x- x0) + b(y- y0) + c(z-z0) = 0$
Som omskrives til $ax+by+cz=ax0+by+cz0$

... som kan omskrives til:

$\begin{align*} \alpha :a\,(x-x_0)+b\,(y-y_0)+c\,(z-z_0) &= 0 \\ a\,x+b\,y+c\,z+(-a\,x_0-b\,y_0-c\,z_0) &= 0 \\ a\,x+b\,y+c\,z &= a\,x_0+b\,y_0+c\,z_0 \\ a\,x+b\,y+c\,z+d &= 0\;,\;\vec{n}_{\alpha }=\Bigl(\begin{smallmatrix}a\\b\\c\end{smallmatrix}\Bigr) \\ \end{align*}$

#2: For at finde en vektor der står vinkelret på planen, må planens orientering bestemmes. Det kræver to ikke-parallelle vektorer, der ligger i planen. Så hvis tre kendte punkter i planen kan give de to vektorer, fås orienteringen udtrykt ved to vektorer. Det spiller ingen rolle, hvordan punkterne bruges til at danne dem. Men et af punkterne vil selvsagt skulle indgå i begge vektorer.

Krydsproduktet af to vektorer giver en vektor, der står vinkelret på begge de to vektorer. Den kan derfor anvendes som normalvektor i ligningen for planen. Mens et af punkterne er (x₀, y₀, z₀).

Brugbart svar (1)

Svar #4
10. januar 2021 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll}& \overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix} 4\\2 \\ 10 \end{pmatrix}\qquad \overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix} -2\\3 \\ -1 \end{pmatrix}\\\\ \textup{normalvektorer:}&k\cdot \overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=k\cdot \begin{pmatrix} -32\\-16 \\ 16 \end{pmatrix}\\ \textup{her v\ae lges:}&k=-\frac{1}{16}\\ \textup{dvs}\\&\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 2\\1 \\ -1 \end{pmatrix}\\\\ \textup{og det faste}\\ \textup{planpunkt:}&P(2,0,-3)\\\\ \textup{Planligning:}\\&\begin{pmatrix} 2\\1 \\ -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-2\\y-0 \\ z-(-3) \end{pmatrix}=0\\\\& 2(x-2)+1\cdot y+(-1)\cdot (z+3)=0\\\\& 2x+y-z-7=0 \end{array}$

Svar #5
10. januar 2021 af patrick1560

Er det faste planpunkt bare et tilfældigt valg, ud fra P, Q og R?
Mit andet spørgsmål: Hvordan fandt du frem til $k=-\frac{1}{16}$
Og mit tredje spørgsmål er, kan man også løse problemet sådan her?
$PQ=\begin{pmatrix} 6\\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2\\ 0 \\-3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}$
Bevis at retningsvektoren ikke er parallelle
$PR=\begin{pmatrix} 0\\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 2\\ 0 \\-3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2\\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$
Og bevises hvis PQ = k*PR

$\begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}= k \begin{pmatrix} -2\\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ Ud fra det kan man de ikke er parallelle
Så Laver man en vektor ligning
$r=\begin{pmatrix} 0\\3 \\-4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}\mu \begin{pmatrix} -2\\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}\lambda, \mu, \lambda \epsilon R$ Så finde den karteriskeligning for planen
$PQ x PR = n=\begin{pmatrix} -36\\ -16 \\ 16 \end{pmatrix}$ Så lave et krydsprodukt mellem PQ og PR for at finde normalvektoren

$ax+by+cz=ax_0+by_0+cz_0$

$-36x-16y+16z=-36*0+(-16)*3+(-4)*16$
$-36x-16y+16z=-112$

Så mit allersidste spørgsmål hvordan laver du den der vektor pil over PQ og PR i LaTeX?
Mange gange tak for jeres hjælp.

Brugbart svar (1)

Svar #6
10. januar 2021 af ringstedLC

Vektorpil: Enten \overrightarrow{abc} eller \vec{a}. Kun den første har dynamisk længde, men begge findes i menuerne.

$\overrightarrow{ABCD}\;\vec{abcd}$

Brugbart svar (1)

Svar #7
10. januar 2021 af ringstedLC

Der bruges selvfølgeligt et kendt punkt, ganske som ved bestemmelse af ligningen for en linje.

k: Sikkert ved simpel hovedregning; -16 går op i de tre koordinater. Beregningen medfører blot, at normalvektoren bliver så "lille" som muligt. Altenativt bruges selve krydsproduktet. Det medfører så, at planens ligning får dens koordinater som koefficienter og at ligningen så må divideres igennem for en god ordens skyld.

Der er ingen grund til at vise, at vektorerne er ikke-parallelle. Opgaven ville i så fald være umulig at løse . Iøvrigt bruges determinanten normalt til det.

Der er heller ingen grund til at lave parameterfremstillingen, når det ikke forlanges.

Du krydser forkert: Se #4!

Din ligning for planen bør forkortes som før nævnt.

Svar #8
11. januar 2021 af patrick1560

Det her er virkelig guldkorn! Tak for jeres hjælp!

Skriv et svar til: Find planets ligning indeholdende punkterne P, Q and R

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.