Matematik

4. gradspolynomiet

25. januar kl. 10:35 af Jegerfortabt - Niveau: A-niveau

Hej- Hvordan griber man lige denne an


Brugbart svar (0)

Svar #1
25. januar kl. 10:46 af mathon


Brugbart svar (0)

Svar #2
25. januar kl. 10:58 af mathon

      \small \small \begin{array}{lllll} \textbf{a)}\\& \begin{array}{lllll} P(x)=\underset{\textup{har to r\o dder}}{\underbrace{x(x+8)}}\cdot\left( \underset{\textup{m\aa \ \textbf{{\color{Red} kun}} have }\mathrm{\acute{e}}\textup{n rod}}{\underbrace{x^2-x+k}} \right ) \end{array} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #3
25. januar kl. 11:06 af Sveppalyf

Det første led har rødderne 0 og -8. Det andet led skal så enten have én rod (som ikke må være 0 eller -8), eller det skal have to rødder hvoraf den ene er enten 0 eller -8 og den anden er forskellig fra 0 og -8.


Brugbart svar (0)

Svar #4
25. januar kl. 11:19 af mathon

     \small \small \small \begin{array}{lllll} \textbf{a)}\\& \begin{array}{lllll} P(x)=\underset{\textup{har to r\o dder}}{\underbrace{x(x+8)}}\cdot\left( \underset{\textup{m\aa \ \textbf{{\color{Red} kun}} have }\mathrm{\acute{e}}\textup{n rod forskellig fra 0 og -8}}{\underbrace{x^2-x+k}} \right ) \end{array} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #5
25. januar kl. 11:30 af mathon

    \small \begin{array}{lllll} \textbf{dvs}\\& k=\left\{\begin{matrix} -72\\0 \\\frac{1}{4} \end{matrix}\right. \end{array}


Svar #6
25. januar kl. 11:51 af Jegerfortabt

Hvordan fandt du frem til -71, og 1/4?


Brugbart svar (0)

Svar #7
25. januar kl. 13:19 af Sveppalyf

Mulighed 1. At det andet led har netop én rod (forskellig fra 0 og -8):

d = (-1)2 - 4*1*k = 1 - 4k

Når d=0, er der netop én løsning. Dvs.

1 - 4k = 0  <=>

k = 1/4

Hvilket giver løsningen

x = -(-1)/ (2*1) = 1/2

som er forskellig fra 0 og -8. Så k=1/4 er en løsning på opgaven.

Mulighed 2. At det andet led har to rødder hvoraf den ene er 0 eller -8 og den anden forskellig fra 0 og -8:

d = (-1)2 - 4*1*k = 1 - 4k

x = ( -(-1) ±√(1-4k) ) / (2*1)  <=>

x = (1 + √(1-4k))/2  ∨ x = (1 - √(1-4k))/2

Hvis den ene løsning skal være lig med 0, så kan det kun være den med minus foran kvadratroden (den anden kan kun være positiv). Den bliver 0 når kvadratroden er 1. Altså

√(1-4k) = 1  <=>

1 - 4k = 1 <=>

k = 0 

som giver rødderne

x = 1 og x = 0

Da den ene rod er 0 og den anden forskellig fra 0 og -8, er k=0 altså også en løsning til opgaven.

Hvis den ene rod skal være -8, må det igen være den med minus foran kvadratroden:

(1 - √(1-4k))/2 = -8  <=>

√(1-4k) = 17  <=>

k = (1 - 172)/4  <=>

k = -72

som giver løsningerne

x = 9  ∨  x  = -8

Da den ene løsning er -8 og den anden forskellig fra 0 og -8, er k=-72 også en løsning på opgaven.

Så der er tre værdier af k som giver 4. gradspolynomiet netop tre rødder: k = -72, k = 0 og k = 1/4.


Svar #8
25. januar kl. 13:20 af Jegerfortabt

Ey perfekt! Tusinde tak


Brugbart svar (0)

Svar #9
28. januar kl. 01:08 af planetensaturn

#7

Hvis den ene løsning skal være lig med 0, så kan det kun være den med minus foran kvadratroden (den anden kan kun være positiv). Den bliver 0 når kvadratroden er 1. Altså

√(1-4k) = 1  <=>

1 - 4k = 1 <=>

k = 0 

som giver rødderne

x = 1 og x = 0

Jeg forstår virkelig ikke hvad du mener i den her del af mulighed 2. Hvorfor dividerer man ikke med 2, og hvordan ved man at den skal give 1?
Håber du, eller nogen andre kan svare på det:)


Brugbart svar (0)

Svar #10
28. januar kl. 08:37 af Farvestoffer

Hej Mathon

Jeg kan huske du herinde plejede at hjælpe mig med matematik da jeg fik på gymnasiet for mange år siden.

Du fortjener en medalje for al den hjælp du har givet og viden du har delt, og som jeg kan se du fortsætter med.

Tusind tak!


Brugbart svar (0)

Svar #11
28. januar kl. 12:11 af Sveppalyf

#9
#7

Hvis den ene løsning skal være lig med 0, så kan det kun være den med minus foran kvadratroden (den anden kan kun være positiv). Den bliver 0 når kvadratroden er 1. Altså

√(1-4k) = 1  <=>

1 - 4k = 1 <=>

k = 0 

som giver rødderne

x = 1 og x = 0

Jeg forstår virkelig ikke hvad du mener i den her del af mulighed 2. Hvorfor dividerer man ikke med 2, og hvordan ved man at den skal give 1?
Håber du, eller nogen andre kan svare på det:)

De to rødder er givet ved:

x = (1 + √(1-4k))/2  ∨ x = (1 - √(1-4k))/2

Så prøver vi at se om vi kan bestemme en k-værdi sådan at den ene rod er 0 mens den anden er forskellig fra 0 og -8.

Den første kan du aldrig få til at give 0. Leddet √(1-4k) kan ikke blive negativt, så hele brøken vil altid være positiv.

Så prøver vi at sætte den anden løsning lig med 0:

(1 - √(1-4k))/2 = 0  <=>

1 - √(1-4k) = 0  <=>

√(1-4k) = 1  <=>

1 - 4k = 1  <=>

1 - 1 = 4k  <=>

0 = 4k  <=>

k = 0

Så med k = 0 bliver den ene rod 0, men vi er kun interesseret i denne k-værdi hvis den anden rod er forskellig fra 0 og -8. Så vi sætter k = 0 ind i formlen for den anden rod:

x = (1 + √(1-4k))/2  med k = 0:

x = (1 + √(1 - 4*0))/2  <=>

x = (1 + √1)/2  <=>

x = 2/2  <=>

x = 1

Så med k=0 har andet led i 4.gradspolynomiet de to rødder 1 og 0. Hvilket giver hele 4.gradspolynomiet de tre rødder 0(dobbeltrod), 1 og - 8.


Brugbart svar (0)

Svar #12
28. januar kl. 18:11 af planetensaturn

Tusind tak, det giver god mening nu!


Skriv et svar til: 4. gradspolynomiet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.