Matematik

Hjælp til Integralregnings-projekt

25. marts 2021 af Marsine - Niveau: A-niveau

Hej, er der nogle, der måske kunne hjælpe mig denne opgave vedrørende en skibakke? Det handler om integralregning, men jeg er dsv. helt ny til emnet, så er på bar bund her.

Her er opgaven:

I Frostlev kommune mangler børnene et godt sted at kælke og stå på ski. Et af kommunalbestyrelsens
medlemmer kommer i tanke om en bakke lidt uden for byen – den må da kunne bruges, og et udvalg tager
ud for at kigge på forholdene.

En prøvekørsel på bakken afslører, at den er alt for stejl på det sidste stykke. Ved bakkens fod har bakken
nemlig en hældning på hele 37° i forhold til vandret. Den må derfor laves om.

En opmåling viser, at bakken er 17 m høj, og at der er 45 m fra bakkens top til dens fod (målt i vandret
plan). Bredden af bakken er 20 m. Desuden viser opmålingen, at bakkens profil med stor tilnærmelse følger en parabel.

For at gøre bakken mere børnevenlig, beslutter kommunens tekniske forvaltning at anlægge en 20 m bred
bane med en konstant hældning på 12°. Inden arbejdet igangsættes får en tekniker mistanke om, at den
planlagte udjævning ikke kan lade sig gøre, uden at der bliver tilført jord udefra.

a) Har han ret? Og hvor meget jord skal der i givet fald tilføres?

Da jordtransport er forbundet med store omkostninger, bliver arbejdet midlertidigt stoppet, indtil der er
fundet en anden løsning. En enkelt løsning kunne være at tilpasse banens hældning med den eksisterende
jordmængde.

b) Hvis denne løsning vælges, hvad skal hældningen så være?

c) Hvor meget jord skal flyttes?

d) Hvor lang bliver kælkebanen?

Jeg håber nogle har forstand på emnet og har tid til at hjælpe. På forhånd tak :-)

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. marts 2021 af AMelev

Lav en forskrift for bakkeprofilen $f(x) = a\cdot x^2+b\cdot x +c$ .
f(0) = 17 ⇒ c = 17
f(45) = 0
Tangenthældningen i (45,0) er tan(-45º), så f '(45) = tan(-45º)
Løs de to ligninger med de to ubekendte a og b.
Hvis jeg har forstået det rigtigt, så har profilen for den ønskede bakke forskriften g(x) = tan(-12º)·x + 17, og situationen kan skitseres således

Skæringspunktet P(x₀,0) mellem g-grafen og x-aksen bestemmes.
Skæringspunktet S(x_s,y_s) mellem f- og g-grafen bestemmes
Ovesrskydende jord A(M1) mellem 0 og x_s (under f og over g) graves væk og manglende jord A(M1) mellem x_s og 45 (under g og over f) plus A(M2) mellem 45 og x₀ (under g og over 1.aksen) tilføres.

Benyt integral til at beregne grundfladerne A(M) og A(M1)+A(M2) og beregn derudfra rumfanget af jord, der skal tilføres.

Vedhæftet fil:Udklip-2.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. maj 2021 af ringstedLC

#1 Ups: f '(x) = tan(-37º)

b) Hvis bakkens højde skal bevares "skovles" M₃ ned i M₄ + M₅:

$\begin{align*} M_3 &= M_4+M_5 \\ g_1(x) &= -\tfrac{17}{x_{P_1}}x+17 \\ \int_{0}^{45}\!f(x)\,\mathrm{d}x &= \int_{0}^{x_{P_1}}\!g_1(x)\,\mathrm{d}x\Rightarrow x_{P_1}=\;? \\ \tan(v) &= \left |-\tfrac{17}{x_{P_1}} \right |\Rightarrow v=\;?^{\,\circ} \end{align*}$

Vedhæftet fil:__3.png

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. maj 2021 af ringstedLC

$\begin{align*} M_3 &= \int_{0}^{x_{S_1}}\!f(x)-g_1(x)\,\mathrm{d}x \;,\;f(x_{S_1})=g_1(x_{S_1}) \end{align*}$

$\begin{align*} \textup{afst}\!\bigl((0,17),P_1\bigr) &= \sqrt{\bigl(x_{P_1}-0\bigr)^2+\bigl(0-17\bigr)^2} \\ \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. maj 2021 af AMelev

UPS, ja. Tak.

Skriv et svar til: Hjælp til Integralregnings-projekt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.