Matematik

Integration v. substitution: hvad skal jeg nu?

24. april 2021 af Jones2929 - Niveau: A-niveau

Hej.

Jeg skal udregne $\int_{1}^{2} x^2*e^{x^3+1} dx$ . Jeg har indtil videre gjort følgende.

t = x^3 +1

dt/dx = 3x^2

dt = 3x^2*dx -> dx = dt/3x^2

Man få de nye grænser: x = 1 -> t = 1^3+1 = 2. x = 2 -> t = 2^3 +1 = 9

Så regner man integralet.

$\int_{1}^{2} x^2*e^{x^3+1} dx = \int_{2}^{9} x^{2}*e^{t}*\frac{dt}{3x^2} = (...)$

Men hvad nu?

Det er længe siden, at jeg har haft emnet integration ved substitution. Hvad skal jeg gøre nu?

Jeg beder ikke om svaret til hele opgaven, men bare et hint i den rigtige retning

Mvh

Svar #1
24. april 2021 af Jones2929

Jeg forsøgte mig lidt frem, men kunne ikke få det til at give mening. Skal jeg sætte dt ind i dt/3x^2? Skal jeg lade x^2 gå ud, fordi det står flere steder?

Har jeg fat i noget rigtigt?

Brugbart svar (1)

Svar #2
24. april 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllll}&& t=x^3+1\\& \textup{og dermed}\\&& \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=3x^2\\\\&& \frac{1}{3}\, \mathrm{d}t=x^2\,\mathrm{d}x\\\\\\&& \int_{1}^{2}e^{x^3+1}\cdot x^2\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\cdot \int_{2}^{9}e^t\,\mathrm{d}t=\frac{1}{3}\cdot \left [ e^t \right ]_{2}^{9}=\frac{1}{3}\cdot \left ( e^9-e^2 \right )=2698.56 \end{array}$

Svar #3
24. april 2021 af Jones2929

Hej Mathon.

Godt set, at 1/3dt = x^2 dx. Det havde jeg ikke lige spottet. Men:

Er det muligt at udregne integralet med det dt/dx og dt, som jeg har fundet? hvis ja, hvordan ville det så se ud?

Brugbart svar (1)

Svar #4
24. april 2021 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll}&& t=x^3+1\\& \textup{og dermed}\\&& \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}=3x^2\\\\\\&& \int_{1}^{2}e^{x^3+1}\cdot x^2\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3} \int_{1}^{2}e^{x^3+1}\cdot 3x^2\,\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\cdot \int_{2}^{9}e^t\,\mathrm{d}t=\frac{1}{3}\cdot \left [ e^t \right ]_{2}^{9}=\frac{1}{3}\cdot \left ( e^9-e^2 \right )=2698.56 \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
24. april 2021 af AMelev

#0 Ja, du skal reducere.

Du har $x^2\cdot e^t\cdot \frac{dt}{3x^2}\overset{broekregel}{=} \frac{x^2\cdot e^t}{3x^2} \cdot dt \overset{forkort \, med\, x^2}{=}\frac{1}{3}e^tdt$ .

Skriv et svar til: Integration v. substitution: hvad skal jeg nu?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.