Matematik

Konvergens og grænseværdi

10. maj kl. 09:18 af K22 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. Hvordan løser jeg denne opgave? Jeg har forsøgt at gøre det, og jeg ender med at få 0, men ifølge mit CAS-værktøj bør grænseværdien være -1/2. 


Brugbart svar (2)

Svar #1
10. maj kl. 13:12 af janhaa

\lim \\ n\to \infty \,\,\,\,n^2*(\cos(1/n) - 1) =-1/2

use Laurent series


Svar #2
11. maj kl. 08:39 af K22

slet


Brugbart svar (1)

Svar #3
11. maj kl. 08:48 af AMelev

#0
Produktreglen for grænseværdi gælder ikke, når den ene faktor går mod 0, og den anden går mod ∞ eller -∞.


Svar #4
11. maj kl. 08:49 af K22

Finder der en anden metode? Jeg har ikke haft om det før. Måske har det også et andet navn?


Brugbart svar (1)

Svar #5
11. maj kl. 09:38 af AMelev

Lidt pusleri førte frem til dette.
     

Vedhæftet fil:Udklip.JPG

Svar #6
11. maj kl. 10:05 af K22

Jeg synes, at det hele giver god mening, men hvordan får du den ide, at x := 1/n? Og hvorfor ændrer du n-> uendelig til x -> 0 ?

Brugbart svar (1)

Svar #7
11. maj kl. 10:14 af AMelev

Ideen kommer fra cos(1/n). At jeg har brugt x i stedet for 1/n er ren dovenskab - det er hurtigere at skrive og nemmere at overskue.

n→∞ ⇒ 1/n→0 ⇔ x→0.
Det burde have været ændret allerede i 2. trin, hvor x indsættes i stedet for 1/n.
En "kopi-pasta-smutter" :)


Svar #8
11. maj kl. 16:36 af K22

Mange tak for hjælpen :)

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. maj kl. 23:44 af Soeffi

#1...

En pontens rækkeudvikling giver:

\lim_{n\to \infty} \;n^2\cdot ({\color{Red} \cos(1/n)} - 1) =\lim_{n\to \infty} \;n^2\cdot ({\color{Red} 1-\frac{(1/n)^2}{2!}+\frac{(1/n)^4}{4!}-...} - 1) =

\lim_{n\to \infty} \;n^2\cdot (-\frac{(1/n)^2}{2!}+\frac{(1/n)^4}{4!}-...) =\lim_{n\to \infty} (-\frac{1}{2!}+\frac{(1/n)^2}{4!}-...) =-\frac{1}{2}


Brugbart svar (0)

Svar #10
16. maj kl. 11:14 af AskTheAfghan

Alternativt, udtrykket kan omskrives til 

n2(cos(1/n) - 1) = [cos(1/n) - 1]/(1/n2),

og til højre af denne ligning går både tælleren og nævneren mod 0, så kan man fordel benytte L'Hospitals regel; her er

[cos(1/n) - 1]'/(1/n2)' = (-1/2) sin(1/n)/(1/n) → -1/2, når n → ∞,

idet faktoren sin(1/n)/(1/n) går som bekendt mod 1 for n gående mod ∞.


Skriv et svar til: Konvergens og grænseværdi

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.