Konvergens

Læg alt det op, du har lavet, så vi ikke behøver at bruge unødig tid.
NB! Billede eller pdf.

Jeg ønsker ikke at lægge det op som PDF, da jeg ikke vil have, at det skal ses som plagiat. Men jeg kan prøve at ridse noget af det op. I c) har jeg gjort det sådan, at jeg har undersøgt grænseværdien for tilfældet b=6/5 og b=-6/5. Her har jeg fået 1. Hvis b>6/5 eller b>-6/5 divergere den mod uendelig.


I d) har jeg brugt to sætninger, som siger noget om grænseværdier for delfølger og begrænsede talfølger.

Man sætter jo b til at være numerisk. Det har vi fra opgave b).

I delopgave  er der tre tilfælde - de værdier for  hvor talfølgen divergerer, de værdier for  hvor talfølgen konvergerer og den ene værdi for , som gør at talfølgen er begrænset. Når du har fundet de værdier, bruger du definitionen af konvergens af talfølger, til at vise din påstand.

Delopgave  bør være lige til, når du har løst delopgave . Hint: Del det igen op i tre tilfælde; hvad er relationen mellem en konvergent talfølge og dens defølger? Hvad siger Bolzano-Weierstrass om det tilfælde hvor talfølgen er begrænset? Det burde stå i din lærebog. 

Det er hints jeg kan give ved første øjekast. 

Mange tak for dit svar, Søren :-). Jeg er kommet frem til, at de værdier for b, hvor talfølgen divergerer er, når b > 6/5 eller b < -6/5. For så er |b * z| > 1. De værdier for b, hvor talfølgen konvergerer er, når b =6/5 eller b= -6/5. 

Er det også rigtigt forstået, at følgen er begrænset for b i intervallet [-6/5, 6/5] ? For så tænker jeg godt, at jeg kan lave resten af d).

Det lyder til at du har godt fat i det.

Dog skal du genoverveje for hvilke værdier for  hvor talfølgen konvergerer. 

Ved første øjekast får jeg i delopgave :  

Hvis vi antager at  kan vi jævnføre delopgave 1.b, hvor vi har at . Derfor er  en begrænset følge. Det følger da af Bolzano-Weierstrass, at  har en konvergent delfølge.

Det handler ikke nødvendigvis om intervallet, og jeg ville faktisk ikke mene at talfølgen er begrænset i alle værdier i det interval du nævner.

Jeg har ikke lige tid til at gå i dybden med opgaven, men jeg håber det hjælper dig på rette vej. 

Men konvergerer den ikke for b = 6/5 eller b = -6/5, som jeg har skrevet? Og for -6/5 < b < 6/5 ?

Jo, du har ret.

Jeg kan godt se hvad du mener - det er mig der har kigget på opgaven for hurtigt. 

Men den er altså ikke begrænset for b i [-6/5,6/5]? Kun for IbI=6/5?

Det komplekse tal z kan skrives som z = (5/6)exp(iπ/6), så man får a_n = (5b/6)ⁿexp(iπn/6). Læg mærke til, at {exp(iπn/6)}_n aldrig konvergerer, så hav det i mente.

Man har a_n → 0 hvis og kun hvis |a_n| → 0 hvis |5b/6| < 1, dvs. hvis |b| < 6/5. Hvis |b| ≥ 6/5, vil {a_n} divergere. Den sidste skyldes, at en kompleks følge divergerer hvis og kun hvis mindst en af de følgende er opfyldt: enten dens realdel eller imaginærdel divergerer.

Til den sidste delopgave, kan man let se, at {|a_n|}_n er den største reelle delfølge af {a_n}_n, i den forstand, at enhver reel delfølge af {a_n} er en delfølge af {|a_n|}_n, så alle disse delfølger konvergerer hvis |b| ≤ 6/5.