Matematik

Taylorrække og konvergensradius

05. juni 2021 af K22 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. Jeg har brug for hjælp til b) og c). Er der nogle, der kan give nogle hints?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2021-06-05 kl. 12.25.56.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. juni 2021 af Soeffi

#0. Hvad får du i a)...? (vedhæfter opgave).

Svar #2
05. juni 2021 af K22

#1 a) har jeg lavet. Jeg er i tvivl om b) og c). Får x(1-x)/k(1-x) i b). Kan det passe?

Brugbart svar (1)

Svar #3
05. juni 2021 af oppenede

b) Potensrækken er
(1 - x)s(x) = ∑^∞_n=0 a_nxⁿ - ∑^∞_n=0 a_nxⁿ⁺¹
= a₀ + ∑^∞_n=1 (a_n - a_n-1)·xⁿ

Svar #4
05. juni 2021 af K22

Mange tak! Kan du prøve at uddybe dine mellemregninger?

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. juni 2021 af oppenede

s(x) indsættes, og leddene samles i en sum (gyldigt da potensrækker kun kan konvergere absolut på et åbent interval)

Svar #6
05. juni 2021 af K22

#5 Hvad er s(x) og a_n lig med i det her tilfælde?

Svar #7
05. juni 2021 af K22

Hvorfor skal a0 med og hvorfor (a_n - a_n-1) til sidst?

Brugbart svar (1)

Svar #8
05. juni 2021 af oppenede

(1 - x)s(x) = ∑^∞_n=0 a_nxⁿ - ∑^∞_n=0 a_nxⁿ⁺¹
= (a₀x⁰ + a₁x¹ + a₂x² + ...) -
(a₀x¹ + a₁x² + ...)
= a₀x⁰ + (a₁-a₀)x¹ + (a₂-a₁)x² + ...
= a₀ + ∑^∞_n=1 (a_n - a_n-1)·xⁿ

Svar #9
06. juni 2021 af K22

Så det er potensrækken. Hvad med Taylorrækken?

Svar #10
06. juni 2021 af K22

Eller beklager. Det er Taylorrækken.

Brugbart svar (1)

Svar #11
08. juni 2021 af Soeffi

#0.

$(1-x)\cdot s(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot x^n-a_n\cdot x^{n+1}=a_0\cdot x^0+\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n}-a_{n-1}) \cdot x^n =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot x^n$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot x^n=-ln(1-x) \Rightarrow s(x)=-\frac{ln(1-x)}{1-x}$

Brugbart svar (0)

Svar #12
08. juni 2021 af user1111

Hvordan skal man vise opg. a? Jeg kunne nemlig godt bruge lidt hjælp til det

Brugbart svar (1)

Svar #13
08. juni 2021 af Soeffi

#12.

$s(1)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\geq \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}\;,\;div.$

$s(\tfrac{1}{2})=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot (\tfrac{1}{2})^n\leq \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot (\tfrac{1}{2})^n =\tfrac{1}{2}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot (\tfrac{1}{2})^{n-1} =\tfrac{1}{2}\cdot \frac{1}{(1-\tfrac{1}{2})^2}=2$

...den geometriske række differentieret.

Brugbart svar (0)

Svar #14
08. juni 2021 af user1111

Tak!! :)

Brugbart svar (0)

Svar #15
08. juni 2021 af Soeffi

#13...
$s(\tfrac{1}{2})=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot (\tfrac{1}{2})^n\leq \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot (\tfrac{1}{2})^n =\tfrac{1}{2}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot (\tfrac{1}{2})^{n-1} =\tfrac{1}{2}\cdot \frac{1}{(1-\tfrac{1}{2})^2}=2$

Analyse 1, Matthias Christiandl, 2019, sætning 2.14: En positiv række konvergerer, hvis og kun hvis den er begrænset.

Brugbart svar (0)

Svar #16
08. juni 2021 af Soeffi

#11.
b) Her benytter man en omskrivning, der giver en teleskopisk række:...

$(1-x)\cdot s(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot x^n-a_n\cdot x^{n+1}=a_0\cdot x^0+\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n}-a_{n-1}) \cdot x^n =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot x^n$

Samme teknik kan bruges til at finde summen for en geometrisk række for x<|1|:

$(1-x)\cdot \sum_{n=0}^{N}x^n=(1-x)\cdot (1+x+x^2+x^3+...+x^N)=1-x^{N+1}\Rightarrow$

$\sum_{n=0}^{N}x^n=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}$

Skriv et svar til: Taylorrække og konvergensradius

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.