Matematik

Taylorrække og konvergensradius

05. juni kl. 12:27 af K22 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. Jeg har brug for hjælp til b) og c). Er der nogle, der kan give nogle hints?


Brugbart svar (0)

Svar #1
05. juni kl. 15:53 af Soeffi

#0. Hvad får du i a)...? (vedhæfter opgave).


Svar #2
05. juni kl. 22:28 af K22

#1 a) har jeg lavet. Jeg er i tvivl om b) og c). Får x(1-x)/k(1-x) i b). Kan det passe?


Brugbart svar (1)

Svar #3
05. juni kl. 22:55 af oppenede

b) Potensrækken er
(1 - x)s(x) = ∑n=0 anxn - ∑n=0 anxn+1
                = a0 + ∑n=1 (an - an-1)·xn


Svar #4
05. juni kl. 22:56 af K22

Mange tak! Kan du prøve at uddybe dine mellemregninger?


Brugbart svar (0)

Svar #5
05. juni kl. 23:00 af oppenede

s(x) indsættes, og leddene samles i en sum (gyldigt da potensrækker kun kan konvergere absolut på et åbent interval)


Svar #6
05. juni kl. 23:02 af K22

#5 Hvad er s(x) og a_n lig med i det her tilfælde? 


Svar #7
05. juni kl. 23:03 af K22

Hvorfor skal a0 med og hvorfor (a_n - a_n-1) til sidst?


Brugbart svar (1)

Svar #8
05. juni kl. 23:11 af oppenede

(1 - x)s(x) = ∑n=0 anxn - ∑n=0 anxn+1
                = (a0x0 + a1x1 + a2x2 + ...) -
                    (a0x1 + a1x2 + ...)
                = a0x0 + (a1-a0)x1 + (a2-a1)x2 + ...
                = a0 + ∑n=1 (an - an-1)·xn


Svar #9
06. juni kl. 09:48 af K22

Så det er potensrækken. Hvad med Taylorrækken? 


Svar #10
06. juni kl. 09:59 af K22

Eller beklager. Det er Taylorrækken.


Brugbart svar (1)

Svar #11
08. juni kl. 13:56 af Soeffi

#0.

b)

(1-x)\cdot s(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot x^n-a_n\cdot x^{n+1}=a_0\cdot x^0+\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n}-a_{n-1}) \cdot x^n =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot x^n

c) 

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot x^n=-ln(1-x) \Rightarrow s(x)=-\frac{ln(1-x)}{1-x}


Brugbart svar (0)

Svar #12
08. juni kl. 14:03 af user1111

Hvordan skal man vise opg. a? Jeg kunne nemlig godt bruge lidt hjælp til det 


Brugbart svar (1)

Svar #13
08. juni kl. 15:17 af Soeffi

#12.

s(1)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\geq \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n}\;,\;div.

s(\tfrac{1}{2})=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot (\tfrac{1}{2})^n\leq \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot (\tfrac{1}{2})^n =\tfrac{1}{2}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot (\tfrac{1}{2})^{n-1} =\tfrac{1}{2}\cdot \frac{1}{(1-\tfrac{1}{2})^2}=2

...den geometriske række differentieret.


Brugbart svar (0)

Svar #14
08. juni kl. 22:34 af user1111

Tak!! :)


Brugbart svar (0)

Svar #15
08. juni kl. 22:43 af Soeffi

#13...

s(\tfrac{1}{2})=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot (\tfrac{1}{2})^n\leq \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot (\tfrac{1}{2})^n =\tfrac{1}{2}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}n\cdot (\tfrac{1}{2})^{n-1} =\tfrac{1}{2}\cdot \frac{1}{(1-\tfrac{1}{2})^2}=2

Analyse 1, Matthias Christiandl, 2019, sætning 2.14: En positiv række konvergerer, hvis og kun hvis den er begrænset.


Brugbart svar (0)

Svar #16
08. juni kl. 23:25 af Soeffi

#11.

b) Her benytter man en omskrivning, der giver en teleskopisk række:...

(1-x)\cdot s(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\cdot x^n-a_n\cdot x^{n+1}=a_0\cdot x^0+\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n}-a_{n-1}) \cdot x^n =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot x^n

Samme teknik kan bruges til at finde summen for en geometrisk række for x<|1|:

(1-x)\cdot \sum_{n=0}^{N}x^n=(1-x)\cdot (1+x+x^2+x^3+...+x^N)=1-x^{N+1}\Rightarrow

\sum_{n=0}^{N}x^n=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}


Skriv et svar til: Taylorrække og konvergensradius

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.