Matematik

differentialligninger

05. oktober 2021 af HTXS - Niveau: A-niveau

Hejsa,

Er i tvivl om hvordan opgave b, c og d skal løses. Har opskrevet en forskrift i opgave a.

I en model kan antallet af kolonier i Danmark i perioden 1982-2008 beskrives ved en funktion S af tiden t (målt i år efter 1982). Den hastighed, hvormed antallet af kolonier vokser til tidspunktet t, er proportional med produktet af antallet af kolonier til tidspunkt t og forskellen mellem 68 og antallet af kolonier til tidspunktet t.

Det oplyses, at proportionalitetskonstanten er k=0,0029

a) opskriv en differentialligning, som S må opfylde:

s'(t)=0,0029*s(t)*(67-S(t))

b) Bestem antallet af kolonier det år hvor der er den største vækst

Det oplyses, at der i 1982 var 10 kolonier i Danmark

c) Løs differentialligningen

d) Bestem hvornår antallet af kolonier når op på 50.

Brugbart svar (1)

Svar #1
05. oktober 2021 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llllll} \textbf{b)}\\& \textup{I \aa ret med }\\& \textup{st\o rst v\ae kst:}&\textup{er der 68/2=34 kolonier}\\\\\\ \textbf{c)}\\&& S(t)=\frac{68}{1+C\cdot e^{-0.1972\cdot t}}\\\\&& S(0)=\frac{68}{1+C\cdot e^{-0.1972\cdot 0}}=\frac{68}{1+C}=10\\\\&& C=5.8\\\\& \textup{Differentialligning:}\\&& S(t)=\frac{68}{1+5.8\cdot e^{-0.1972\cdot t}}\\\\\\ \textbf{d)}\\&& 50=\frac{68}{1+5.8\cdot e^{-0.1972\cdot \mathbf{{\color{Red} t}}}} \end{array}$

Svar #2
05. oktober 2021 af HTXS

mange tak for hjælpen

Svar #3
05. oktober 2021 af HTXS

#1
$\small \small \small \begin{array}{llllll} \textbf{b)}\\& \textup{I \aa ret med }\\& \textup{st\o rst v\ae kst:}&\textup{er der 68/2=34 kolonier}\\\\\\ \textbf{c)}\\&& S(t)=\frac{68}{1+C\cdot e^{-0.1972\cdot t}}\\\\&& S(0)=\frac{68}{1+C\cdot e^{-0.1972\cdot 0}}=\frac{68}{1+C}=10\\\\&& C=5.8\\\\& \textup{Differentialligning:}\\&& S(t)=\frac{68}{1+5.8\cdot e^{-0.1972\cdot t}}\\\\\\ \textbf{d)}\\&& 50=\frac{68}{1+5.8\cdot e^{-0.1972\cdot \mathbf{{\color{Red} t}}}} \end{array}$

Kan du forklare opgave b for mig? :)

Brugbart svar (0)

Svar #4
06. oktober 2021 af mathon

$\small \small \small \small \small \small \begin{array}{llllll} \textup{\textbf{b)} forklaring:}\\&& \textup{Udgangspunkt:}&S{\, }'(t)=0.0029\cdot S\cdot \left ( 68-S \right )\quad 0<S<68\\& \textup{hvoraf ses}\\&&&S{\, }'(t)>0\\&& \textup{For at finde max.}\\&& \textup{for }S{\, }'(t)\\&& \textup{beregnes}&S{\, }''(t)=0.0029\cdot S{\, }'(t)\cdot \left ( 68-S \right )+0.0029\cdot S\cdot\left ( -S{\, }'(t )\right )\\\\&&& S{\, }''(t)=0.0029\cdot S{\, }'(t)\cdot \left ( 68-2S \right )\\\\&& \textup{Maksimum for }S{\, }'(t )\\&& \textup{kr\ae ver bl.a.}&S{\, }''(t)=0\\&& \textup{hvoraf da}&0.0029\cdot S{\, }'(t)>0\\\\&&& 68-2S=0\\\\&&& {\color{Red} S=\frac{68}{2}} \end{array}$

Skriv et svar til: differentialligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.