Matematik

Bestem differentialkvotienten

25. oktober 2021 af Maja2503 - Niveau: B-niveau

Hej.

Jeg skal bestemme differentialkvotienten for $f(x)=\frac{1}{x}$ ved at bruge tretrinsreglen.

Jeg er dog gået i stå ved det første trin, hvor man skal finde $y\Delta=f(x_0+h)-f(x_0)$ . I opgavebeskrivelsen står der som hint, at man skal sætte det på fælles brøkstreg inden trin 2. Det kunne være en stor hjælp, hvis nogen kunne forklare, hvordan man gør dette.

På forhånd tak.

Brugbart svar (3)

Svar #1
25. oktober 2021 af JimmyMcGill

At sætte på fælles brøkstreg er en god idé ja. Du har $f(x_0+h)=\frac{1}{x_0+h}$ og $f(x_0)=\frac{1}{x_0}$ , dvs.

$f(x_0+h)-f(x_0)=\frac{1}{x_0+h}-\frac{1}{x_0}$ .

Vi sætter på fælles brøkstreg ved følgende udregning, hvor jeg ganger i tæller og nævner (markeret med farve).

$\begin{align*} f(x_0+h)-f(x_0)&=\frac{1}{x_0+h}{\color{Red} \frac{x_0}{x_0}}-\frac{1}{x_0}{\color{Red} \frac{x_0+h}{x_0+h}}\\ &=\frac{x_0}{(x_0+h)x_0}-\frac{x_0+h}{(x_0+h)x_0}\\ &=\frac{x_0-(x_0+h)}{(x_0+h)x_0}\\ &=\frac{-h}{(x_0+h)x_0} \end{align*}$

Nu du klar til at udregne $a_s=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ , dvs.

$a_s=\frac{\frac{-h}{(x_0+h)x_0}}{h}$

Kan du fortsætte fra her?

Brugbart svar (1)

Svar #2
25. oktober 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textbf{1. trin}\\& f(x_o+h)-f(x_o)=\frac{1}{x_o+h}-\frac{1}{x_o}=\frac{x_o-\left ( x_o+h \right )}{x_o\cdot (x_o+h)}=\frac{-h}{x_o\cdot (x_o+h}=\frac{-1}{x_o\cdot (x_o+h}\cdot h\\\\ \textbf{2. trin}\\& \frac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}=\frac{\frac{-1}{x_o\cdot (x_o+h}\cdot h}{h}=\frac{-1}{x_o\cdot (x_o+h}\\\\ \textbf{3. trin}\\& f{\, }'(x_o) = \underset{h\rightarrow 0}{\lim} \;\frac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}=\frac{-1}{x_o\cdot (x_o+h)}\rightarrow \frac{-1}{{x_o}^2}=-\frac{1}{{x_o}^2} \end{array}$

Skriv et svar til: Bestem differentialkvotienten

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.