Matematik

Kombinatorik

26. oktober kl. 10:40 af gavs - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal løse denne opgave:

Hvor mange afbildninger er der fra en mængde med 5 elementer ind i en mængde med 7 elementer? Hvor mange af disse er injektive? Hvor mange er surjektive?

Jeg har gjort sådan her:

Der må være tale om en kombination og ikke en permutation, da rækkefølgen ikke spiller nogen rolle. Desuden tillades gentagelser, når man skal finde det totale antal. Jeg lader så n=7 og r=5:

(_{r}^{n+r-1}\textrm{})=(_{5}^{11}\textrm{})=\frac{11!}{5!(11-5)!}=462

Så alt i alt 462 afbildninger er mulige at lave. Af disse må der være et antal injektive afbildninger svarende til antallet af kombinationer uden tilladte gentagelser for n=7 og r=5:

(_{r}^{n}\textrm{})=(_{5}^{7}\textrm{})=\frac{7!}{5!(7-5)!}=21

Altså 21 injektive afbildninger. Der må så forekomme 0 surjektive afbildninger simpelthen af den årsag, at man kun afbilder 5 elementer.

Ser det hele rigtigt ud? Jeg er lidt i tvivl om resultaterne.


Brugbart svar (0)

Svar #1
26. oktober kl. 12:03 af Eksperimentalfysikeren

Du har ret i, at der er 0 surjektive afbildninger. Din begrundelse er korrekt.

Hvis du ser på et simplere eksempel, kan du se, at dine andre resulter ikke er rigtige. Tag {1,2} afbildes over i {a,b,c}. Du kan så se, at 1 kan afbildes over i hvert af de tre bogstaver, hvilket 2 også kan, så antallet af afbildninger er 3*3 = 9. De  injektive fås ved at vælge 1 over i a, b og c efter tur. Ved hvert valg er der et "optaget" bogstav, så 2 har kun to valgmuligheder: antallet bliver 3*2. Problemet er, at du antager, at rækkefølgen ikke spiller nogen rolle, hvorfor du vælger en forkert formel.

Udvid det simple tilfælde til f.eks.{1,2,3} over i {a,b,c,d,e}.


Svar #2
26. oktober kl. 13:44 af gavs

Ok. Så der er tale om en permutation. I så fald er der 7^5=16807 afbildninger, hvoraf 7!/(7-5)!=2520 er injektive, ikke? Jeg skal vist lige overbevise mig selv om, at rækkefølgen har betydning.


Skriv et svar til: Kombinatorik

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.