Matematik

En trekant med vinkelspidser, Vejen til Matematik A, Opgave 30, Side 44, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

08. december 2021 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 30

En trekant har vinkelspidserne A(-2,2), B(8,3) og C(5,10).

a) Bestem en ligning for for siden C

Se den vedhæftede fil som er min tegning af trekanten

AB = (⁸₃ ^-(-2) _-2) = (¹⁰₁) har retningsvektoren r₁ = (¹⁰₁) har normalvektoren n = (^-1₁₀) som indsættes således

-( x -(-2)) +10(y - 2 ) = 0

-x -2 + 10y -20 = 0

-x + 10y - 22 = 0

(Det samme som facitlisten side 391)

b) Bestem længden af h_c.

Hvordan bestemmer man den længde.?

(Bogen facit er 7,26)

I c) skal bestemme længden af de to andre højder

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Bestem længden af højden fra punkt C til linjen AB.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. december 2021 af mathon

Brugbart svar (1)

Svar #2
08. december 2021 af StoreNord

a) Du kunne bare have brugt Pythagoras! :-)
Og det samme med de to andre sider.

Svar #3
08. december 2021 af ca10

Tak for svaret

Brugbart svar (1)

Svar #4
08. december 2021 af StoreNord

Du kan finde trekantens areal med Herons formel.

Brugbart svar (1)

Svar #5
08. december 2021 af mathon

$\small \begin{array}{llllllll} \textup{Areal:}\\&& T&=&\frac{1}{2}\cdot \left ( -2\cdot \left (3-10 \right )+8\cdot \left (10-2 \right ) +5\cdot \left (2-3 \right )\right )=\frac{1}{2}\cdot \left ( 14+64-5 \right )=\\\\&&&&&&\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \frac{73}{2}\\\\&& \left | AB \right |&=&c=\sqrt{\left ( 8-(-2) \right )^2+\left (3-2 \right )^2}=\sqrt{101}\\\\&& T&=&\frac{1}{2}\cdot h_c\cdot c=\frac{73}{2}\\\\&& h_c&=&\frac{73}{ \sqrt{101}}=7.26 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. december 2021 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{eller}\\&&\textup{Areal}=\frac{1}{2}\cdot \textup{abs}\left ( \textup{det} \left ( \begin{bmatrix} 8-(-2) &5-(-2) \\ 3-2 & 10-2 \end{bmatrix} \right )\right ) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
08. december 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} h_b=\frac{73}{\textup{norm}\left ( \begin{bmatrix} 5-(-2)\\ 10-2 \end{bmatrix} \right )}\\\\ h_a=\frac{73}{\textup{norm}\left ( \begin{bmatrix} 5-8\\ 10-3 \end{bmatrix} \right )} \end{array}$

Svar #8
09. december 2021 af ca10

Jeg prøver at bruge Herons formel

Herons formel er udviklet på baggrund af den generelle formel for en trekants areal

A = 1/2 • h • g

I Herons formel kan man beregne en trekants areal uden at kende nogle vinkler og samtidig undgår man højden h, hvis man bare kender alle sidernes længder. Heron introducerede begrebet den halve omkreds, s defineret som:

s = (a + b + c ) / 2

a, b og c er sidelængderne i trekanten

Den halve omkreds s, skal indsættes i selve Herons formel, der defineres som:

T = √(s (s - a ) ( s - b ) ( s - c ))

Jeg beregner først sidelængderne:

a = |BC| = √((8 - 5)² +(10 - 3)² ) = √58 = 7,6158

b =| AC|) = √( (5 -(-2))² + (10 - 2)² ) = √113 = 10,6301

c = |AB| = √((10 -(-2))² + (3 - 2)²) = √101 = 10,0469

Jeg beregner s:

s = ( √58 + √113 + √101 ) / 2 = 14,1479

Jeg beregner trekantens areal A = T (Har brugt TI - 89 Titanium den er hvad jeg har til rådighed)

T = √14,1479 • (14,1479 -7,6158) • (14,1479 - 10,6301) • (14,1479 - 10,04699) = 72,92492 = 73

b) Bestemmer længden af h_c (den halve omkreds er beregnet tidligere s)

h_c • |AB| = 73

h_c • √101 = 73

h_c = 73 /√101 = 7,2637 = 7,26

c) Bestemmer længden af h_a

h_a • |BC|= 73

h_a • √58 = 73

h_a = 73 / √58 = 9,5853 = 9,59

Bestemmer længden af h_b

h_b • |AC| = 73

h_b • √113 = 73

h_b = 73 / √113 = 6,8672 = 6,87

Jeg håber det er beregnet rigtigt.

Tak for svarene

Brugbart svar (1)

Svar #9
09. december 2021 af StoreNord

Ja, håbet er llysegrønt, som man siger.

Men du har fået arealet dobbelt så stort:

T = √14,1479 • (14,1479 -7,6158) • (14,1479 - 10,6301) • (14,1479 - 10,04699) = 72,92492 = 73

Svar #10
10. december 2021 af ca10

Tak for svaret #9

Kan du så ikke vise, hvordan Herons formel rigtig anvendes til løsning af opgave 30 b) og c)

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #11
10. december 2021 af StoreNord

Din sidelængde b er 0.5 forkert.

I din arealberegning med Herons formel har du skrevet det sidste produkt forkert.

På din tegning er punkt A afsat forkert.

Brugbart svar (0)

Svar #12
10. december 2021 af StoreNord

Vedhæftet fil:Skærmbillede fra 2021-12-10 20-40-53.png

Svar #13
11. december 2021 af ca10

Tak for svaret

Skriv et svar til: En trekant med vinkelspidser, Vejen til Matematik A, Opgave 30, Side 44, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.