Matematik

Cirklens ligning, Vejen til matematik, Opgave 37, Side 45, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

01. januar 2022 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 37. Undersøg i hvert tilfælde, om ligningen fremstiller en cirkel og angiv i bekræftende fald centrum og radius.

Jeg ved følgende:

Cirklen med centrum i C = ( a,b ) og radius r har ligningen:

(x - a)² + (y - b)² = r²

Jeg har løst a), b), d) og e) på følgende måde.

Jeg har problem med at løse c)

a) x² - 2x + y² + 4y = 20

2x er det dobbelte produkt, jeg bestemmer a således:

-2x = -2ax

a = -2x / -2x = 1

4y er det dobbelte produkt jeg bestemmer b således:

4y = -2by

b = 4y / -2y = -2

( x - 1 )² = x² - 2x + 1

(y - (-2))² =

( y + 2 )² = y² +4y + 4

x² - 2x + 1 + y² + 4y + 4 = 20 +1+4

x² - 2x +1 + y² +4y + 4 = 25

Ved omskrivning fås:

( x -1 )² + ( y + 2 )² = 5²

Ligningen fremstiller en cirkel med centrum C = ( 1, -2 ) og radius r = 5

b) x² - 6x + 12 + y² - 8y = -4 omskriver jeg til

x² - 6x + 9 + y² - 8y = -4 -12

-6x er det dobbelte produkt, jeg bestemmer a således:

-6x = -2ax

a = -6x / -2x = 3

-8y er det dobbelte produkt, jeg bestemmer b således:

-8y = -2by

b = -8y / -2y = 4

( x - 3 )² = x² - 6x + 9

( y - 4)² = y² - 8y +16

x² - 6x + 9 + y² - 8y + 16 = -4 -12 + 9 + 16

x² - 6x + 9 + y² -8y + 16 = 9

Ved omskrivning fås:

( x - 3 )² + ( y - 4 )² = 3³

Ligningen fremstiller en cirkel med centrum C = ( 3 , 4 ) , radius r = 3

c) 2x² -4x + y² - 16y = 21

Cirklens ligning er som bekendt ( x - a )² + ( y - b )² = r²

Problemet her er at tallet 2 er faktor så ligningen her er måske :

2*( x - 2 )² + ( y - b )² = 21, men det passer jo ikke med ligningen for en cirkel

Mit spørgsmål er, hvordan undersøger man om ligningen fremstiller en cirkel ?

d) ( x - 1 )² + y² + 8y = 33

af ligningen oplyses det jo at a = 1

8y er det dobbelte produkt, jeg bestemmer b således.

8y = -2by

b = 8y / -2y = -4

( y - (-4))² =

( y + 4 )² = y² - 8y + 16

( x - 1 )² + y² - 8y + 16 = 33 + 16 = 49

Ved omskrivning fås:

( x -1 )² + ( y + )² = 7²

Cirklens centrum C = ( 1 , -4 ), Radius r = 7

e) x² + 8x + y² - 4y = -20

8x er det dobbelte produkt, jeg bestemmer a således:

8x = -2ax

a = 8x / -2x = -4

-4y er det dobbelte produkt, jeg bestemmer b således:

-4y = -2by

b = -4y / -2y = 2

( x - (-4))² = x² - 8y + 16

( y - 2 )² = y² - 4y + 4

Ved omskrivning fås:

x² + 8x + 16 + y² - 4y + 4 = -20 +16 + 4

Ved omskrivning fås:

( x + 4 )² + ( y - 2 )² = 0

Cirklen med centrum i C = (a,b) og radius r har ligningen:

( x - a )² + ( y - b )² = r²

Ligningen fremstiller ikke en cirkel da radius r = 0 og det passer ikke med Cirklens ligning.

For en cirkel er mængden af punkter, der har en given afstand (radius) fra et givet punkt (centrum) og der er ingen afstand.

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. januar 2022 af peter lind

c) det er ikke en cirkel fordi x² og y² har forskellige koefficienter. (det er muligvis en ellipse. Jeg har ikke regnet efter)

Brugbart svar (0)

Svar #2
01. januar 2022 af ringstedLC

c) Beregning af det dobbelte produkt:

$\begin{align*} \bigl({\color{Red} c_1}x-a\bigr)^2 &= ({c_1}x)^2+a^2-2a{\color{Red} c_1}x \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
01. januar 2022 af ringstedLC

c) fortsat:

$\begin{align*} \bigl(c_1x-a\bigr)^2+\bigl(c_2y-b\bigr)^2 &= r^2 \\ ({c_1}x)^2+a^2-2ac_1x+({c_2}y)^2+b^2-2{c_2}y &= d \\ 2x^2-4x+y^2-16y &= 21 \\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2=({c_1}x)^2 &\wedge-4x=-2a c_1 x \\ y^2=(c_2y)^2 &\wedge -16y=-2bc_2y \end{matrix}\right\} &\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c_1=\sqrt{2} \wedge a=\sqrt{2} \\c_1=-\sqrt{2} \wedge a=-\sqrt{2} \\ c_2=1 \\b=8\end{matrix}\right\}\;,\;\begin{Bmatrix}x,y\end{Bmatrix}\neq \begin{Bmatrix}0,0\end{Bmatrix} \\ \Bigl(\sqrt{2}\,x-\sqrt{2}\,\Bigr)^2+\Bigl(y-8\Bigr)^2 &=21+\Bigl(\sqrt{2}\,\Bigr)^2+8^2=87 \\ \Bigl(\sqrt{2}\cdot \big(x+1\bigr)\Bigr)^2+\Bigl(y-8\Bigr)^2 &=87 \\ \frac{\Bigl(x-1\Bigr)^2}{\sqrt{\Bigl(\frac{87}{2}\Bigr)}^{\,2}}+\frac{\Bigl(y-8\Bigr)^2}{\sqrt{87}^{\,2}} &=1 \\ \frac{\Bigl(x-x_0\Bigr)^2}{a^{2}}+\frac{\Bigl(y-y_0\Bigr)^2}{b^{2}} &=1 \end{align*}$

Ligningen giver en ellipse med stor- og lilleaksen 2a og 2b, der skærer hinanden i (x₀, y₀).

Brugbart svar (1)

Svar #4
01. januar 2022 af ringstedLC

#0
Ved omskrivning fås:

( x + 4 )² + ( y - 2 )² = 0

Cirklen med centrum i C = (a,b) og radius r har ligningen:

( x - a )² + ( y - b )² = r²

Ligningen fremstiller ikke en cirkel da radius r = 0 og det passer ikke med Cirklens ligning.

For en cirkel er mængden af punkter, der har en given afstand (radius) fra et givet punkt (centrum) og der er ingen afstand.

Det kan sikkert diskuteres om afstanden "0" giver en cirkel. Men ligningen beskriver vel en punktmængde, der så blot indeholder punktet "centrum".

NB. Brug en tråd pr. opgave!

Svar #5
02. januar 2022 af ca10

Tak for svarene

Skriv et svar til: Cirklens ligning, Vejen til matematik, Opgave 37, Side 45, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.