Fysik

ioners bevægelse i magnetfelt

16. februar 2022 af louisean - Niveau: A-niveau

Hej.

Jeg har fået en opgave, hvor jeg skal forklare, hvorfor ioner bevæger sig i jævn cirkelbevægelse i magnetfeltet.

Er det noh og sige at den gøre det pga den konstante acceleration?

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. februar 2022 af peter lind

Den er udsat for en kraft. der får den til at bevæge sig med en acceleration der er numerisk konstant men ændre retning så den peger vinkelret på bevægelse. Accelerationen er dermed ikke konstant

Brugbart svar (0)

Svar #2
19. februar 2022 af mathon

Bevægelse af ioner i et homogent magnetfelt, når $\small \mathbf{v_0}$ står vinkelret på $\small \mathbf{B}$ .
Begyndelseshastigheden kan da skrives på formen $\small \bigl(\begin{smallmatrix} v_o\\0 \end{smallmatrix}\bigr)$ .
Da Lorentzkraften
$\small \mathbf{F}=q\cdot \mathbf{v}\times\mathbf{B}$
ligger i x-y-planen og står vinkelret på $\small \mathbf{v}$ , kan den skrives på
formen
$\small \mathbf{F}=-q\cdot B\cdot \widehat{\mathbf{v}}$ med $\small \mathbf{v}$ = $\small \bigl(\begin{smallmatrix} v_x\\v_y \end{smallmatrix}\bigr)$ og $\small \mathbf{\widehat{v}}=\bigl(\begin{smallmatrix} -v_y\\v_x \end{smallmatrix}\bigr)$ altså

$\small \mathbf{F}=\begin{pmatrix} B\cdot q\cdot v_y\\ -B\cdot q\cdot v_x \end{pmatrix}$ hvoraf:

$\small \begin{array}{llllllll} \left\{\begin{align*}m_{rel}\cdot \frac{\mathrm{d}^2x }{\mathrm{d} t^2}&=B\cdot q\cdot v_y\; \; \; =B\cdot q\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \\ m_{rel}\cdot \frac{\mathrm{d}^2y }{\mathrm{d} t^2}&=-B\cdot q\cdot v_x=-B\cdot q\cdot \frac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d} t} \end{align*}\right. \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. februar 2022 af mathon

eller

$\small \small \begin{array}{llllllll}\textbf{(1)}& \left\{\begin{align*} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}-B\cdot \frac{q}{m_{rel}}\cdot y \right ) =0\\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}+B\cdot \frac{q}{m_{rel}}\cdot x \right ) =0 \end{align*}\right. \end{array}$

$\small \small \textbf{(1)}$ integreres med hensyn til tiden under anvendelse af, at begyndelseshastigheden er $\small \bigl(\begin{smallmatrix} v_o\\0 \end{smallmatrix}\bigr)$ og
begyndelsesstedet er $\small (0,0)\textup{:}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. februar 2022 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llllllll}\textbf{(2)}& \left\{\begin{array}{lll} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}-B\cdot \frac{q}{m_{rel}}\cdot y =v_0&&\left ( \textbf{a} \right ) \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}+B\cdot \frac{q}{m_{rel}}\cdot x =0 &&(\textbf{b})\end{array}\right. \end{array}$

Multipliceres $\small \small \left (\textbf{a} \right )$ med x og $\small \left (\textbf{b} \right )$ med y og adderes, fås:

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. februar 2022 af mathon

$\small x\cdot \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}+y\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=v_o\cdot x$

heri indsættes:

$\small x=-\frac{m_{rel}}{B\cdot q}\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}\textup{ fra }\left ( \textbf{b} \right )\textup{:}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. februar 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll}&&x\cdot \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}+y\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}+\frac{m_{rel}\cdot v_o}{B\cdot q}\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=0\\\textup{eller}\\&& \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2+\frac{m_{rel}\cdot v_0}{B\cdot q}\cdot y \right )=0 \end{array}$

Integreres påny med hensyn til tiden under anvendelse af, at begyndelsetedet er (0,0), fås:

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. februar 2022 af mathon

$\small \begin{array}{llllll}&& \small x^2+y^2+\frac{2\cdot m_{rel}\cdot v_0}{B\cdot q}\cdot y=0\quad \textup{der omskrives til:}\\\\\\&& x^2+\left ( y+\frac{m_{rel}\cdot v_o}{B\cdot q} \right )^2=\left ( \frac{m_{rel}\cdot v_0}{B\cdot q} \right )^2. \end{array}$

Bevægelsen i x-y-planen er altså en cirkel, hvis radius bestemmes
af:
$\small \begin{array}{llllll}&& \\\\\\&& r= \frac{m_{rel}\cdot v_0}{B\cdot q} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. februar 2022 af mathon

begyndelsetedet $\rightarrow$ begyndelsesstedet

Skriv et svar til: ioners bevægelse i magnetfelt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.